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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 44

Efetue a antidiferenciação.

int sqrt(3 + s) (s + 1)^2

Passo 1

Essa integral parece bem mais difícil do que realmente é. Vamo arriscar por substituição? Se liga que a gente tem aí o produto de duas expressões, então é de se esperar que uma só substituição não resolva!

Seja u = s + 1 . Assim, a gente vai ter d u = d s . Fica:

int sqrt(3 + s) (s + 1)^2 = int u^2 sqrt(u + 2) d u

Aqui, ainda dá pra fazer outra substituição. Seja v = u + 2 (que implica d v = d u ) pra gente ter a liberdade de integrar esse radical:

int sqrt(3 + s) (s + 1)^2 = int u^2 sqrt(u + 2) d u = int (v - 2)^2 sqrt(v) d v = int ( v^2 - 4 v + 4 ) sqrt(v) d v .

Passo 2

Fazendo aquela velha propriedade distributiva, fica:

int ( v^2 - 4 v + 4 ) sqrt(v) d v = int ( v^((5)/(2)) - 4 v^((3)/(2)) + 4 v^((1)/(2) ) ) d v

E a gente chegou numa integral polinomial! :D

Agora, integrar isso é fácil e, voltando de v pra u , fica assim:

int (v^((5)/(2)) - 4 v^((3)/(2)) + 4 v^((1)/(2) )) d v = (2)/(7) v^((7)/(2)) - (8)/(5) v^((5)/(2)) + (8)/(3) v^((3)/(2)) + k = (2)/(7) (u + 2)^((7)/(2)) - (8)/(5) (u + 2)^((5)/(2)) + (8)/(3) (u + 2)^((3)/(2)) + k

Passo 3

Agora só resta voltar de u pra s :

(2)/(7) (u + 2)^((7)/(2)) - (8)/(5) (u + 2)^((5)/(2)) + (8)/(3) (u + 2)^((3)/(2)) + k = (2)/(7) (s + 3)^((7)/(2)) - (8)/(5) (s + 3)^((5)/(2)) + (8)/(3) (s + 3)^((3)/(2)) + k .

Assim,

int sqrt(3 + s) (s + 1)^2 = (2)/(7) (s + 3)^((7)/(2)) - (8)/(5) (s + 3)^((5)/(2)) + (8)/(3) (s + 3)^((3)/(2)) + k .

Resposta

int sqrt(3 + s) (s + 1)^2 = (2)/(7) (s + 3)^((7)/(2)) - (8)/(5) (s + 3)^((5)/(2)) + (8)/(3) (s + 3)^((3)/(2)) + k .

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