Para x = y + 2 * raiz(y), 1 ≤ y ≤ 2; eixo y :

a) Estabeleça uma integral para a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em torno do seu eixo.

b) Trace o gráfico da curva para ver como ela é. Se puder, faça também o gráfico da superfície .

c) Use seu program gráfico ou programa para calcular integrais e determine a área da superfície numericamente.

Passo 1

a) Por definição temos que se a x = g y ≥ 0   é continuamente derivável em [ c , d ] , a área da superfície gerada pela rotação da curva x = g ( y ) em torno do eixo y é:

S = ∫ c d 2 π g ( y ) 1 + g ' y 2   d y

Onde

g y = y + 2 y

Então

g ' y = 1 + 1 y

Assim, temos que:

S = ∫ 1 2 2 π   ( y + 2 y ) 1 + 1 + 1 y 2 d y = 2 π ∫ 1 2 y + 2 y 1 + 1 + 1 y 2   d y

Passo 2

b) Você pode utilizar a calculadora gráfica do Symbolab ou o GeoGebra.

Passo 3

c) Você pode utilizar o WolframAlpha ou o Symbolab. Obtém-se que S ≈ 56,557 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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