Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 8.2 - Ex. 39
A fórmula 4 é válida somente quando . Mostre que quando não é necessariamente positiva, a fórmula para a área da superfície se torna:
Passo 1
Para resolver esse exercício, vamos precisar retornar no ponto nessa seção onde foi demonstrada a obtenção da fórmula 4, nos primeiros passos, foi considerada uma contribuição para a área de superfície com valor:
No entanto, no nosso caso, quando não é necessariamente positiva, devemos susbtituir os termos e pelas suas aproximações respectivas, só que em módulo. Então, sabendo que é uma função contínua, podemos escrever:
E, para o nosso caso, devemos usar o módulo de , dessa forma:
Passo 2
Então, subsituindo esses dois valores na primeira equação do passo 1, temos:
Passo 3
Mas, conforme visto na demonstração presente no livro, o termo corresponde a:
Logo, fazendo igual temos na demonstração do livro, aplicando a soma de Riemann para essa integral, vamos cair em:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)