Enunciado

A fórmula 4 é válida somente quando f x ≥ 0 . Mostre que quando f ( x ) não é necessariamente positiva, a fórmula para a área da superfície se torna:

∫ a b 2 π f ( x ) 1 + f ' x 2 d x

Passo 1

Para resolver esse exercício, vamos precisar retornar no ponto nessa seção onde foi demonstrada a obtenção da fórmula 4, nos primeiros passos, foi considerada uma contribuição para a área de superfície com valor:

2 π y i - 1 + y i 2 | P i - 1 P i |

No entanto, no nosso caso, quando f ( x ) não é necessariamente positiva, devemos susbtituir os termos y i - 1 e y i pelas suas aproximações respectivas, só que em módulo. Então, sabendo que f é uma função contínua, podemos escrever:

y i = f x i ≅ f ( x i * )

y i - 1 = f x i - 1 ≅ f ( x i * )

E, para o nosso caso, devemos usar o módulo de f ( x i * ) , dessa forma:

y i = f x i ≅ | f x i * |

y i - 1 = f x i - 1 ≅ | f x i * |

Passo 2

Então, subsituindo esses dois valores na primeira equação do passo 1, temos:

2 π y i - 1 + y i 2 P i - 1 P i = 2 π | f x i * | + | f x i * | 2 | P i - 1 P i |

= 2 π f x i * | P i - 1 P i |

Passo 3

Mas, conforme visto na demonstração presente no livro, o termo | P i - 1 P i | corresponde a:

P i - 1 P i = 1 + f ' x i * 2 Δ x

Logo, fazendo igual temos na demonstração do livro, aplicando a soma de Riemann para essa integral, vamos cair em:

∫ a b 2 π f ( x ) 1 + f ' x 2 d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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