5 - Elimine o módulo.

d) |x| + |x-1| + |x-2|

Passo 1

Fala aí! Tudo certo? 😬

Nosso objetivo nesse problema é reescrever a função f x = x + x - 1 + x - 2 sem os módulos.

Lembra como fazemos isso? 🤔

Temos pela definição que para não usar o módulo, é necessário que dividirmos a função em partes:

x = x       s e       x ≥ 0 - x       s e       x < 0

Basicamente isso fala que para todo x , x ≥ 0 , ou seja, o módulo de um número real é sempre positivo, assim podemos calcular.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Vamos analisar os sinais das expressões dentro dos módulos:

Para x temos o seguinte esquema:

A expressão assume valores negativos quando x < 0 e assume valores positivos quando x > 0 .

Para x - 1   temos o seguinte esquema:

A expressão assume valores negativos quando x < 1 e assume valores positivos quando x > 1 .

Para x - 2 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < 2 e assume valores positivos quando x > 2 .

Vamos analisar as três imagens que achamos no passo anterior:

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Vamos analisar os quatro casos, com x ≤ 0 , 0 < x ≤ 1 , 1 < x ≤ 2 e x ≥ 2 .

Com x ≤ 0 temos que x ≤ 0 , x - 1 < 0 e x - 2 < 0 , assim a expressão é equivalente a:

x + x - 1 + x - 2 = - x + - x - 1 + - x - 2 = - x + - x + 1 + - x + 2 = - x - x + 1 - x + 2 = - 3 x + 3

Com 0 < x ≤ 1 temos que x > 0 , x - 1 ≤ 0 e x - 2 < 0 , assim a expressão é equivalente a:

x + x - 1 + x - 2 = x + - x - 1 + - x - 2 = x + - x + 1 + - x + 2 = x - x + 1 - x + 2 = - x + 3

Com 1 < x ≤ 2 temos que x > 0 , x - 1 > 0 e x - 2 ≤ 0 , assim a expressão é equivalente a:

x + x - 1 + x - 2 = x + x - 1 + - x - 2 = x + x - 1 + - x + 2 = 2 x - 1 - x + 2 = x + 1

Passo 4

Por último, com x ≥ 2 temos que x > 0 , x - 1 > 0 e x - 2 ≥ 0 , assim a expressão é equivalente a:

x + x - 1 + x - 2 = x + x - 1 + x - 2 = x + x - 1 + x - 2 = 3 x - 3

Juntando então temos que:

2 x - 1 + x - 2 = - 3 x + 3     s e     x ≤ 0 - x + 3     s e     0 < x ≤ 1 x + 1     s e   1 < x ≤ 2 3 x - 3     s e     x ≥ 2

E aí? Conseguiu entender? Responde Aí! 😎

Resposta

2 x - 1 + x - 2 = - 3 x + 3     s e     x ≤ 0 - x + 3     s e ��   0 < x ≤ 1 x + 1     s e   1 < x ≤ 2 3 x - 3     s e     x ≥ 2

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