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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 1.3 - Ex. 6

Prove:

|x + y| = |x| + |y| harr x y >= 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente provar que |x + y| é igual a |x| + |y| e que essa igualdade equivale a desigualdade x y >= 0 .

Pra isso, vamos manipular algebricamente a expressão que está do lado esquerdo da igualdade, de modo que a gente consiga chegar no resultado que está do lado direito, usando as condições que o enunciado nos deu.

Vamos lá!

Passo 2

Devemos procurar condições que x e y devam satisfazer para que se tenha |x + y| = |x| + |y| . Vamos então elevar a expressão ao quadrado:

|x + y| = |x| + |y| harr (|x + y|)^2 = (|x| + |y|)^2

Vamos resolver separamente as parcelas para ficar melhor de ver. Usando o produto notável, temos:

(|x + y|)^2 = (x + y)^2 = x^2 + 2 x y + y^2

(|x| + |y|)^2 = |x|^2 + 2 |x| |y| + |y|^2 = x^2 + 2 |x y| + y^2

Pronto, agora vamos substituir de volta:

(|x + y|)^2 = (|x| + |y|)^2

harr x^2 + 2 x y + y^2 = x^2 + 2 |x y| + y^2

harr x y = |x y|

Agora temos que |x y| = x y só pode ocorrer se x y >= 0 , como queríamos demonstrar.

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o n o s p a s s o s

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