Prove:

|x+y| = |x| + |y| ↔ xy >= 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente provar que x + y é igual a x + y e que essa igualdade equivale a desigualdade x y ≥ 0 .

Pra isso, vamos manipular algebricamente a expressão que está do lado esquerdo da igualdade, de modo que a gente consiga chegar no resultado que está do lado direito, usando as condições que o enunciado nos deu.

Vamos lá!

Passo 2

Devemos procurar condições que x e y devam satisfazer para que se tenha x + y = x + y . Vamos então elevar a expressão ao quadrado:

x + y = x + y ↔ x + y 2 = x + y 2

Vamos resolver separamente as parcelas para ficar melhor de ver. Usando o produto notável, temos:

x + y 2 = x + y 2 = x 2 + 2 x y + y 2

x + y 2 = x 2 + 2 x y + y 2 = x 2 + 2 x y + y 2

Pronto, agora vamos substituir de volta:

x + y 2 = x + y 2

↔ x 2 + 2 x y + y 2 = x 2 + 2 x y + y 2

↔ x y = x y

Agora temos que x y = x y só pode ocorrer se x y ≥ 0 , como queríamos demonstrar.

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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