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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.1 - Ex. 12

  1. Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
  2. Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o prametro aumenta.

x = 1 2 cos ⁡ θ ,   y = 2 sen ⁡ θ ,   0 ≤ θ ≤ π

Passo 1

Para “isolar”o parâmetro no caso em que temos seno e cosseno, usamos a relação fundamental trigonométrica:

cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 1

Assim, pra coordenada cartesiana, temos que:

x 2 + y 2 = 1

Ou seja, a equação cartesiana de uma circunferência centrada na origem e raio 1 .

Então fazemos da seguinte forma para encontrarmos a equação do nosso gráfico:

2 x 2 + 1 2 y 2 = cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 1

Isso implica que:

4 x 2 + 1 4 y 2 = 1

E isso nos dá:

x 2 1 2 2 + y 2 2 2 = 1

que é uma equação de uma elipse com x que intercepta em ± 1 2 e y que interceptaem ±   2 .

Passo 2

Para 0 ≤ θ ≤ π 2 , nós temos que:

1 2 ≥ x ≥ 0

E

0 ≤ y ≤ 2

Para π 2 < θ ≤ π , nós temos que:

0 > x ≥ - 1 2

E

2 > y ≥ 0

Portanto, o gráfico é a metade superior da elipse:

Resposta

  1. x 2 1 2 2 + y 2 2 2 = 1

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