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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.3 - Ex. 36

Encontre a função f tal que f 3 = 2 e

t 2 + 1 f ' t + f t 2 + 1 = 0               t ≠ 1

[Dica: Use a fórmula de adição para t g   ( x + y ) na Página de Referência 2.]

Passo 1

Vamos chamar f ' t = d y / d t , então f t = y , desta forma:

t 2 + 1 d y d t   + y ² + 1 = 0

Para encontrarmos a função f, precisamos resolver a equação diferencial acima e para isso deixamos todos os termos que depende de y de um lado da equação e todos os termos que dependem de t do outro lado da equação.

t 2 + 1 d y d t = - y 2 - 1

d y d t = - y 2 - 1 t 2 + 1

d y y 2 + 1 = - d t t 2 + 1

Passo 2

Estando seperadas as variáveis, podemos integrar ambos os lados. Sendo uma integral indefinida.

∫ d y y 2 + 1 = - ∫ d t t 2 + 1

arctan ⁡ y = - arctan ⁡ t + C

Passo 3

Para encontrar o valor da constante C, podemos utilizar a condição incial dada pelo problema, f 3 = 2 . Isso nos diz que x = 3   e   y = 2 .

Mas como estamos trabalhando com arctan, fica difícil obter um valor para C, então para encontrarmos o valor de C mais facilmente vamos utilizar a seguinte relação trigonométrica: tan ⁡ ( A + B ) = ( tan ⁡ A + tan ⁡ B ) / ( 1 - tan ⁡ A ∙ tan ⁡ B ) .

Aplicando tan em ambos os lados:

tan ⁡ arctan ⁡ y + arctan ⁡ t = tan ⁡ C

tan ⁡ C = tan ⁡ ( arctan ⁡ y ) + t a n ⁡ ( arctan ⁡ t ) 1 - tan ⁡ ( arctan ⁡ y ) ∙ tan ⁡ ( arctan ⁡ t )

tan ⁡ C = y + t 1 - y t = k

Onde k é uma constante.

k = 2 + 3 1 - 6 = - 1

Passo 4

Substituindo o valor de k em y + t 1 - y t = k , e isolando y encontramos f ( t ) :

y = f ( t ) = t + 1 t - 1   o n d e   t ≠ 1

Resposta

f ( t ) = t + 1 t - 1

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