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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.9 - Ex. 44

Um empreiteiro concorda em pintar ambos os lados de 1000 sinais circulares, com 3   m de raio cada um. Depois de receber os sinais, descobre que na realidade o raio de cada sinal tem 1   c m a mais. Use diferenciais para encontrar uma porcentagem aproximada da quantidade adicional de tinta que será necessária.

Passo 1

Nesse exercício, não temos nenhuma equação explícita. Contudo, é plausível pensar que a quantidade de tinta necessária para pintar as placas é proporcional ao número de placas e à área da superfície de cada uma. Logo, sendo V a quantidade de tinta, r o raio da placa, k uma constante arbitrária e n o número de placas:

V = k n π r 2

Como, no problema proposto, n é dado, as variáveis passam a ser r e V . Assim, podemos escrever:

V ( r ) = k n π r 2

Passo 2

Perceba agora que, tal como algumas outras desse capítulo, essa questão exige uma consideração definida no início da seção, em 4.9 item (2), onde podemos aproximar a variação de uma função y = f ( x ) a partir da variação de x :

∆ y = f ' ( x ) ∆ x

Teremos, portanto, aplicando essa aproximação nas variáveis do problema,

∆ V = d V ( r ) d r ∆ r

Passo 3

Perceba que o enunciado forneceu o valor de ∆ r , ao falar que as placas vieram com 1   c m a mais. Ou seja,

∆ r = 1   c m

Passo 4

Chegamos, portanto, em uma equação na qual conhecemos o valor de ∆ r , queremos obter o valor de ∆ V e não sabemos o valor de d V r d r = V ' ( r ) . Por isso, devemos calcular a diferencial de V ( r ) , função quantidade de tinta.

V ( r ) = k n π r 2

Derivando em função de r :

V ' ( r ) = 2 k n π r

Passo 5

Finalmente, basta interpretar os valores do problema para saber onde substituir cada dado. Substituindo,

∆ V = d V ( r ) d r ∆ r

∆ V = 2 k n π r ∆ r

∆ V = 2 k 1000 π ( 3 ) ( 0,01 )

∆ V = 60 k π

Passo 6

Para obter o valor do erro percentual e , basta fazer

e = ∆ V V * 100

e = 60 k π 9000 k π * 100

Resposta

Concluindo,

e = 0,67 %

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