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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.7 - Ex. 24

Se, no exemplo 4, uma molécula do produto C é produzida de uma molécula do reagente A e de uma molécula do reagente B , e as concentrações iniciais de A   e   B têm um mesmo valor A = B = a   m o l s / L , então

C = a 2 k t a k t + 1

Onde k é uma constante

  1. Encontre a taxa de reação no instante t
  2. Mostre que se x = [ C ] , então

    3. d x d t = k a - x 2

  3. O que acontece com a concentração quando t → ∞
  4. O que acontece com a taxa de reação quando t → ∞
  5. O que os resultados da parte (c) e (d) significam em termos práticos?

Passo 1

Fala aí, galerinha! 😁

Nesse problema temos uma função que resulta no produto de uma molécula C

C = a 2 k t a k t + 1

e nosso objetivo é determinar alguns valores desse produto.

Parece complicado? 😬

Por exemplo, no item a) queremos encontrar a taxa de reação no instante t . Lembra que podemos relacionar a taxa de variação de uma função pela sua derivada? Então... para encontrar a taxa de reação vamos calcular a derivada de C em relação a t .

No item b) queremos mostrar que

d x d t = k a - x 2

Pra isso vamos fazer algumas manipulações na equação.

E nos itens c) e d) queremos encontrar a taxa de variação para t → ∞ da concentração e da taxa de variação, respestivamente... pra isso basta aplicarmos o limite nessas equações.

Bora começar! 👀

Passo 2

Temos que a taxa de reação é

t a x a   d e   r e a ç ã o = lim ∆ t → 0 ⁡ ∆ C ∆ t = d C d t = d d t a 2 k t a k t + 1

Agora, basta derivarmos, pela regra do quociente

f x = g x h x ,     f ' x = g ' x · h x - g x · h ' x h x 2

Nesse caso, ficamos com

t a x a   d e   r e a ç ã o = d d t a 2 k t ⋅ a k t + 1 - a 2 k t ⋅ d d t a k t + 1 a k t + 1 2

t a x a   d e   r e a ç ã o = a 2 k ⋅ a k t + 1 - a 2 k t ⋅ a k a k t + 1 2

Simplificando o resultado...

t a x a   d e   r e a ç ã o = a 3 k 2 t + a 2 k - a 3 k 2 t a k t + 1 2

t a x a   d e   r e a ç ã o = a 2 k a k t + 1 2

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Se x = [ C ] , temos que

x = a 2 k t a k t + 1

Se fizermos a - x ficamos com

a - x = a - a 2 k t a k t + 1

a - x = a a k t + 1 - a 2 k t a k t + 1

a - x = a 2 k t + a - a 2 k t a k t + 1

a - x = a a k t + 1  

Elevando ambos os lados ao quadrado, ficamos com

a - x 2 = a 2 a k t + 1 2

Multiplicando ambos os lados por k ficamos com

k a - x 2 = a 2 k a k t + 1 2 = d C d t = d x d t

Bacana, não é? 👀

Passo 4

Para o item c), basta tomarmos o limite, daí ficamos com

lim t → ∞ ⁡ C = lim t → ∞ ⁡ a 2 k t a k t + 1 = ∞ ∞

Então, utilizando o Teorema de L’Hôpital.

Nesse teorema derivamos o numerador e o denominador da função do limite...

lim t → ∞ ⁡ a 2 k t a k t + 1 = lim t → ∞ ⁡ a 2 k t ' a k t + 1 ' = lim t → ∞ ⁡ a 2 k a k

lim t → ∞ ⁡ a 2 k t a k t + 1 = lim t → ∞ ⁡ a

lim t → ∞ ⁡ a 2 k t a k t + 1 = a   m o l / L

Estamos quase lá! 😐

Passo 5

E para o item d), basta tomarmos o limite, daí ficamos com

lim t → ∞ ⁡ a 2 k a k t + 1 2 = 0   m o l / L  

Perceba que temos t apenas no denominador, então se t → ∞ vamos ter um número relativamente pequeno sendo dividido por um número extremamente grande, por isso o resultado é 0 .

Sendo assim, conclui-se que quando o tempo tende a um valor consideravelmente alto a concentração do composto C  tende a concentração equivalente a a   m o l / L , ou seja, A   e   B são convertidos em C . Por sua vez, quando o tempo tende a valores consideravelmente altos a   t a x a   d e   r e a ç ã o  tende a 0   m o l / L e, portanto, a reação tende a cessar.

E aí, o que achou? Responde Aí! 😇

Resposta

  1. t a x a   d e   r e a ç ã o = a 2 k a k t + 1 2

  2. k a - x 2 = a 2 k a k t + 1 2 = d C d t = d x d t

  3. lim t → ∞ ⁡ C = a   m o l / L

lim t → ∞ ⁡ a 2 k a k t + 1 2 = 0   m o l / L  

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