Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.7 - Ex. 30
A frequência da vibração de uma corda de violino é dada por
Onde é o comprimento da corda; , sua tensão; , sua densidade linear.
- Encontre a taxa de variação da frequência em relação:
- Ao comprimento (quando são constantes)
- À tensão (quando são constantes)
- À densidade linear (quando são constantes)
- A intensidade de uma nota (quão alta ou baixa soa a nota) é determinada pela frequência . Quanto maior a frequência, maior a intensidade. Use os sinais das derivadas da parte (a) para determinar o que acontece com a intensidade de uma nota
- Quando o comprimento de corda é decrescido colocando-se o dedo sobre ela, de forma que uma porção menor da corda vibre.
- Quando a tensão é aumentada girando-se a cravelha (pino de afinação)
- Quando a densidade linear é aumentada, mudando-se a corda.
Passo 1
Opa, bora resolver esse problema!
O enunciado pede para encontrar a taxa de variação da frequência de uma corda de violino em relação a três variáveis diferentes: comprimento, tensão e densidade linear.
Cada parte do problema requer a aplicação da derivada parcial da função que descreve a frequência da corda em relação à variável especificada, mantendo as outras variáveis constantes.
Para resolver cada parte do problema, precisamos seguir estes passos:
- A frequência da vibração da corda é dada por
Onde é o comprimento da corda, é a tensão e é a densidade linear.
- Para cada parte do problema, devemos identificar qual variável estamos considerando como a variável independente para calcular a taxa de variação.
- Para encontrar a taxa de variação da frequência em relação à variável específica, aplicamos a derivada parcial da função da frequência em relação a essa variável, mantendo as outras variáveis constantes.
- Depois de calcular a derivada parcial, interpretamos o sinal e o valor da taxa de variação em relação à variável especificada e relacionamos isso com as mudanças na frequência da corda em resposta às mudanças na variável.
- Por fim, relacionamos o sinal e o valor das derivadas parciais com a intensidade da nota, considerando que a intensidade da nota está diretamente relacionada à frequência da corda.
Passo 2
A taxa de variação da frequência em relação ao comprimento ( quando e são constantes):
Aqui é o comprimento da corda, , sua tensão; , sua densidade linear.
Sabendo disso precisamos calcular, na letra (a) a taxa de variação da frequência em relação a e .
Pra facilitar o cálculo dessas derivadas, vamos reescrever :
Passo 3
Sabendo que a intensidade de uma nota é proporcional a frequência devemos prever o que acontece quando:
- O comprimento de corda diminui colocando-se o dedo sobre ela, de forma que uma porção menor da corda vibre.
- Quando a tensão é aumentada girando-se a cravelha, ou seja, aumentando a tensão :
- Quando a densidade linear é aumentada, mudando-se a corda:
Temos:
Então ao diminuir teremos que irá diminuir (por conta do sinal negativo), logo a frequência irá diminuir então, a intensidade da nota será menor.
Passo 4
Ao aumentarmos a tensão diminui, porém, possui um sinal positivo, então um aumento na tensão irá provocar uma variação positiva na frequência da nota, ou seja, a frequência aumentará e por conseguinte, a intensidade da nota será maior.
Passo 5
Ao aumentar, teremos que irá diminuir (por conta do sinal negativo), então a frequência irá diminuir, por conseguinte, a intensidade da nota será menor.
Prontinhoo!
Resposta
-
- Desenvolvimento acima.