Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.7 - Ex. 23
A Lei de Boyle afirma que quando uma amostra de gás é comprimida a uma temperatura constante, o produto da pressão pelo volume permanece constante:
- Encontre uma taxa de variação do volume em relação a pressão.
- Uma amostra de gás está em um recipiente à baixa pressão e é regularmente comprimida à temperatura constante por 10 minutos. O volume decresce mais rapidamente no início ou no final dos 10 minutos? Explique.
- Demonstre que a compressibilidade isotérmica (veja o Exemplo 5) é dada por
Passo 1
Opa, bora lá!
Temos a Lei de Boyle, que diz que quando um gás é comprimido a uma temperatura constante, a pressão vezes o volume é uma constante.
A partir dessa equação temos que obter uma taxa de variação do volume em relação a pressão.
Além disso temos uma amostra que é comprimida à temperatura constante e à baixa pressão, no final de queremos saber se o volume decresce mais rapidamente do que no inicio do processo.
E por ultimo, queremos demonstrar que a compressibilidade isotérmica é dada por
Parece complicado?
Para encontrar a taxa de variação do volume em relação à pressão , vamos usar a equação dada no enunciado para isolar em um lado da igualdade e calcular
A partir desse resultado podemos obter tambem a resposta do item b) analisando as consantes...
Já para responder o item c), vamos usar o exemplo do livro que nos dá
Veja só!
Passo 2
Para encontrar a taxa de variação do volume em relação a pressão, basta fazermos:
Derivamos em relação a pressão pois é a taxa de variação em relação a essa variável que queremos.
Pela fórmula de podemos ver que se aumenta, o valor absoluto de diminui, então, o volume está diminuindo mais rapidamente no início.
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora vamos pra letra (b)! Se uma amostra de gás for comprimida por o volume vai decrescendo com o passar do tempo. A taxa de decrescimento deve ser maior no início do tempo ou no final?!
Vamos pensar... calculamos:
Pela fórmula de podemos ver que se aumenta, o valor absoluto de diminui, então, o volume está diminuindo mais rapidamente no início dos 10 minutos pois a pressão é menor!
Show?
Passo 4
Agora pra acabar! Temos que a compressibilidade isotérmica é dada por:
Temos que provar que isso é verdade! Do exemplo 5 do livro, temos que:
Sabemos que:
Daí, temos:
Sabemos que:
Então:
E é isso! O que achou? Responde Aí!
Resposta
- Pela fórmula de podemos ver que se aumenta, o valor absoluto de diminui, então, o volume está diminuindo mais rapidamente no início.
- Desenvolvimento acima.