Encontrar:

∂²f/∂x², ∂²f/∂y², ∂²f/∂x∂y, ∂³f/∂x²∂y, e ∂³f/∂z³

Das seguintes funções:

a) f(x, y, z) = (xyz, ln(y), ln(z)) .

Passo 1

Então pessoal, o enunciado pede para que encontremos vááárias derivadas, então para não confundir iremos fazê-las passo a passo e uma de cada vez, tudo jóia? Então ok! A função que nos foi dada é:

vec f (x , y , z) = (x y z , ln y , ln z)

A primeira derivada que temos que encontrar é (del^2 vec f)/(del x ²) . Sendo assim:

(del vec f)/(del x) = (y z , 0 , 0)

(del^2 vec f)/(del x ²) = (0 , 0 , 0)

A segunda derivada que temos que encontrar é (del^2 vec f)/(del y ²) . Sendo assim:

(del vec f)/(del y) = (x z , (1)/(y) , 0)

(del^2 vec f)/(del y ²) = (0 , - (1)/(y^2) , 0)

Tudo bem, as primeiras duas já foram, agora vamos para o resto!

Passo 2

A terceira derivada que temos que encontrar é (del^2 vec f)/(del x del y) . Sendo assim:

(del vec f)/(del y) = (x z , (1)/(y) , 0)

(del^2 vec f)/(del x del y) = (z , 0 , 0)

A quarta derivada que temos que encontrar é (del^3 vec f)/(del x ² del y) . Sendo assim:

(del vec f)/(del y) = (x z , (1)/(y) , 0)

(del^2 vec f)/(del x del y) = (z , 0 , 0)

(del^3 vec f)/(del x ² del y) = (0 , 0 , 0)

As quatro primeiras já foram, agora só falta a última!

Passo 3

A última derivada que temos que encontrar (socorro) é (del^3 vec f)/(del z ³) . Sendo assim:

(del vec f)/(del z) = (x y , 0 , (1)/(z))

(del^2 vec f)/(del z^2) = (0 , 0 , - (1)/(z^2))

(del^3 vec f)/(del z ³) = (0 , 0 , (2)/(z^3))

Ufa! Agora sim, todas as derivadas foram completadas! 😉

Resposta

(del^2 vec f)/(del x ²) = (0 , 0 , 0) ; (del^2 vec f)/(del y ²) = (0 , - (1)/(y^2) , 0) ; (del^2 vec f)/(del x del y) = (z , 0 , 0)

(del^3 vec f)/(del x ² del y) = (0 , 0 , 0) ; (del^3 vec f)/(del z ³) = (0 , 0 , (2)/(z^3))

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