Encontrar (∂^2f/∂x^2)|P_0 + (∂^2f/∂y^2)|P_0 - 4(∂^2f/∂z^2)|P_0 . Dados:

f(x, y, z) = (x+y+z, (x+y+z)^2, (x+y+z)^3) e P_0(1, 0, 1)

Passo 1

Então pessoal, aqui o que devemos fazer é encontrar as derivadas parciais de ordem superior no ponto estabelecido, que é P o . Para facilitar a resolução, inicialmente vamos focar em só encontrar as derivadas parciais de segunda ordem, tudo jóia? Beleza! Nossa função vetorial é:

f → x ,   y ,   z = x + y + z ,   x + y + z 2 ,   x + y + z 3

Encontrando ∂ 2 f → ∂ x 2 :

∂ f → ∂ x = 1 ,   2 x + y + z ,   3 x + y + z 2

∂ 2 f → ∂ x 2 = 0 ,   2 ,   6   x + y + z

Tudo ok, a primeira derivada já foi encontrada!

Passo 2

Encontrando ∂ 2 f → ∂ y 2 :

∂ f → ∂ y = 1 ,   2 x + y + z ,   3 x + y + z 2

∂ 2 f → ∂ y 2 = 0 ,   2 ,   6 x + y + z

Por fim, encontrando ∂ 2 f → ∂ z 2 :

∂ f → ∂ z = 1 ,   2 x + y + z ,   3 x + y + z 2

∂ 2 f → ∂ z 2 = 0 ,   2 ,   6 x + y + z

Sendo assim, podemos observar que todas as derivadas apresentaram o mesmo resultado, o que facilita nossa vida.

Passo 3

Como as derivadas parciais são idênticas, então você deve concordar comigo que se substituirmos o ponto P 0 nas derivadas, o resultado também tem que ser idêntico, certo? Sendo assim, temos que:

∂ 2 f → ∂ x 2 P 0 = ∂ 2 f → ∂ x 2 1 ,   0 ,   1 = 0 ,   2 ,   6 . 1 + 0 + 1

∴ ∂ 2 f → ∂ x 2 1 ,   0 ,   1 = 0 ,   2 ,   12

Além disso, temos que:

∂ 2 f → ∂ x 2 1 ,   0 ,   1 = ∂ 2 f → ∂ y 2 1 ,   0 ,   1 = ∂ 2 f → ∂ z 2 1 ,   0 ,   1

Agora, por fim, temos que substituir esses resultados na expressão:

∂ 2 f → ∂ x 2 P 0 + ∂ 2 f → ∂ y 2 P 0 - 4 ∂ 2 f → ∂ z 2 P 0

Dessa forma, nosso resultado será:

0 ,   2 ,   12 + 0 ,   2 ,   12 - 4 0 ,   2 ,   12 = 0 ,   - 4 ,   - 24

E esse é o nosso vetor resultante!

Resposta

∂ 2 f → ∂ x 2 P 0 + ∂ 2 f → ∂ y 2 P 0 - 4 ∂ 2 f → ∂ z 2 P 0 = 0 ,   - 4 ,   - 24

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