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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 58

Encontrar (del^2 vec f)/(del x^2) (P_0) + (del^2 vec f)/(del y^2) (P_0) - 4 (del^2 vec f)/(del z^2) (P_0) . Dados:

vec f (x , y , z) = (x + y + z , (x + y + z)^2 , (x + y + z)^3) e P_0 (1 , 0 , 1)

Passo 1

Então pessoal, aqui o que devemos fazer é encontrar as derivadas parciais de ordem superior no ponto estabelecido, que é P_o . Para facilitar a resolução, inicialmente vamos focar em só encontrar as derivadas parciais de segunda ordem, tudo jóia? Beleza! Nossa função vetorial é:

vec f (x , y , z) = (x + y + z , (x + y + z)^2 , (x + y + z)^3)

Encontrando (del^2 vec f)/(del x^2) :

(del vec f)/(del x) = (1 , 2 (x + y + z) , 3 (x + y + z)^2)

(del^2 vec f)/(del x^2) = (0 , 2 , 6 (x + y + z))

Tudo ok, a primeira derivada já foi encontrada!

Passo 2

Encontrando (del^2 vec f)/(del y^2) :

(del vec f)/(del y) = (1 , 2 (x + y + z) , 3 (x + y + z)^2)

(del^2 vec f)/(del y^2) = (0 , 2 , 6 (x + y + z))

Por fim, encontrando (del^2 vec f)/(del z^2) :

(del vec f)/(del z) = (1 , 2 (x + y + z) , 3 (x + y + z)^2)

(del^2 vec f)/(del z^2) = (0 , 2 , 6 (x + y + z))

Sendo assim, podemos observar que todas as derivadas apresentaram o mesmo resultado, o que facilita nossa vida.

Passo 3

Como as derivadas parciais são idênticas, então você deve concordar comigo que se substituirmos o ponto P_0 nas derivadas, o resultado também tem que ser idêntico, certo? Sendo assim, temos que:

(del^2 vec f)/(del x^2) P_0 = (del^2 vec f)/(del x^2) (1 , 0 , 1) = (0 , 2 , 6 . (1 + 0 + 1))

:. (del^2 vec f)/(del x^2) (1 , 0 , 1) = (0 , 2 , 12)

Além disso, temos que:

(del^2 vec f)/(del x^2) (1 , 0 , 1) = (del^2 vec f)/(del y^2) (1 , 0 , 1) = (del^2 vec f)/(del z^2) (1 , 0 , 1)

Agora, por fim, temos que substituir esses resultados na expressão:

(del^2 vec f)/(del x^2) (P_0) + (del^2 vec f)/(del y^2) (P_0) - 4 (del^2 vec f)/(del z^2) (P_0)

Dessa forma, nosso resultado será:

(0 , 2 , 12) + (0 , 2 , 12) - 4 (0 , 2 , 12) = (0 , - 4 , - 24)

E esse é o nosso vetor resultante!

Resposta

(del^2 vec f)/(del x^2) (P_0) + (del^2 vec f)/(del y^2) (P_0) - 4 (del^2 vec f)/(del z^2) (P_0) = (0 , - 4 , - 24)

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