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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 57b

Encontrar:

(del^2 vec f)/(del x ²) , (del^2 vec f)/(del y ²) , (del^2 vec f)/(del x del y) , (del^3 vec f)/(del x ² del y) e (del^3 vec f)/(del z ³)

Das seguintes funções:

b) vec f (x , y , z) = (e^y . s e n x , e^x . s e n y , z)

Passo 1

Então pessoal, o enunciado pede para que encontremos vááárias derivadas, então para não confundir iremos fazê-las passo a passo e uma de cada vez, tudo jóia? Então ok! A função que nos foi dada é:

vec f (x , y , z) = (e^y . s e n x , e^x . s e n y , z)

A primeira derivada que temos que encontrar é (del^2 vec f)/(del x ²) . Sendo assim:

(del vec f)/(del x) = (e^y . cos x , e^x . s e n y , 0)

(del^2 vec f)/(del x ²) = (- e^y . s e n x , e^x . s e n y , 0)

A segunda derivada que temos que encontrar é (del^2 vec f)/(del y ²) . Sendo assim:

(del vec f)/(del y) = (e^y . s e n x , e^x . cos y , 0)

(del^2 vec f)/(del y ²) = (e^y . s e n x , - e^x . s e n y , 0)

Tudo bem, as primeiras duas já foram, agora vamos para o resto!

Passo 2

A terceira derivada que temos que encontrar é (del^2 vec f)/(del x del y) . Sendo assim:

(del vec f)/(del y) = (e^y . s e n x , e^x . cos y , 0)

(del^2 vec f)/(del x del y) = (e^y . cos x , e^x . cos y , 0)

A quarta derivada que temos que encontrar é (del^3 vec f)/(del x ² del y) . Sendo assim:

(del vec f)/(del y) = (e^y . s e n x , e^x . cos y , 0)

(del^2 vec f)/(del x del y) = (e^y . cos x , e^x . cos y , 0)

(del^3 vec f)/(del x^2 del y) = (- e^y . s e n x , e^x . cos y , 0)

As quatro primeiras já foram, agora só falta a última!

Passo 3

A última derivada que temos que encontrar (socorro) é (del^3 vec f)/(del z ³) . Sendo assim:

(del vec f)/(del z) = (0 , 0 , 1)

(del^2 vec f)/(del z^2) = (0 , 0 , 0)

(del^3 vec f)/(del z ³) = (0 , 0 , 0)

Ufa! Agora sim, todas as derivadas foram completadas! 😉

Resposta

(del^2 vec f)/(del x ²) = (- e^y . s e n x , e^x . s e n y , 0) ; (del^2 vec f)/(del y ²) = (e^y . s e n x , - e^x . s e n y , 0) ;

(del^2 vec f)/(del x del y) = (e^y . cos x , e^x . cos y , 0) ; (del^3 vec f)/(del x ² del y) = (- e^y . s e n x , e^x . cos y , 0) ; (del^3 vec f)/(del z ³) = (0 , 0 , 0)

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