Dada a função f(x, y) = (xyz, xy, raiz(x^2 + z^2)) , determinar (∂^2 f→ / ∂x^2), (∂^2 f→ / ∂y^2) e (∂^2 \* f) / (∂x \* ∂y) .

Passo 1

Então pessoal, essa questão aqui é puramente matemática mesmo, devemos encontrar as derivadas parciais de ordem superior, conforme indicadas pelo enunciado. Primeiramente devemos encontrar ∂ 2 f → ∂ x 2 , que seria derivar duas vezes seguidas a função vetorial em relação a x , ok? A função que nos foi dada é:

f → x ,   y = x y z ,   x y ,   x 2 + z 2

Derivando pela primeira vez:

∂ f → ∂ x = y z ,   y , x x 2 + z 2 - 1 2

Derivando pela segunda vez:

∂ 2 f → ∂ x 2 = 0 ,   0 , x 2 + z 2 - 1 2 + x . - x . x 2 + z 2 - 3 2

∴ ∂ 2 f → ∂ x 2 = 0 ,   0 ,   x 2 + z 2 - 1 2 - x 2 . x 2 + z 2 - 3 2

Primeiro pedido finalizado!

Passo 2

Agora o que devemos fazer é encontrar ∂ 2 f → ∂ y 2 , que seria derivar duas vezes seguidas a função vetorial em relação a y , ok? Derivando pela primeira vez:

∂ f → ∂ y = x z ,   x ,   0

Derivando pela segunda vez:

  ∂ 2 f → ∂ y 2 = 0 ,   0 ,   0

Segundo pedido finalizado também!

Passo 3

Por fim, o que devemos encontrar é ∂ 2 f → ∂ x ∂ y , que seria derivar a função em relação a y primeiro e, em seguida, derivar essa função nova em relação a x , se liga:

∂ f → ∂ y = x z ,   x ,   0

Agora derivando em relação a x :

∂ 2 f → ∂ x ∂ y = z ,   1 ,   0

E todas as derivadas que queríamos estão aí!

Resposta

∂ 2 f → ∂ x 2 = 0 ,   0 ,   x 2 + z 2 - 1 2 - x 2 . x 2 + z 2 - 3 2

∂ 2 f → ∂ y 2 = 0 ,   0 ,   0

∂ 2 f → ∂ x ∂ y = z ,   1 ,   0

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