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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 52

Determine ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y

  1. z = f x g y
  2. z = f x y
  3. z = f x y

Passo 1

Tudo certinho, pessoal? Aqui nós temos três itens que pedem, em cada um deles, as derivadas com relação a x   e a y da função dada.

Vamos fazer com calma cada um deles em passos diferentes, beleza?

Passo 2

A primeira função que temos é

z = f x g y

Para calcular ∂ z ∂ x , derivamos z em relação a x , fixando o valor de y . Note que só temos uma função de x , que é f x . Assim,

∂ z ∂ x = f ' x g y

Para ∂ z ∂ y , derivamos z em relação a y , fixando o valor de x . Da mesma forma, só temos uma função de y , então derivamos somente ela:

∂ z ∂ y = f x g ' y

Passo 3

Agora nós temos que derivar a função f , que possui uma função dentro dela, o produto x y .

z = f x y

Para ∂ z ∂ x , derivamos z em relação a x , fixando o valor de y . Vamos precisar utilizar a regra da cadeia em cada um dos casos:

∂ z ∂ x = f ' x y ∂ ∂ x x y  

Isso resulta em

∂ z ∂ x = y ⋅ f ' ( x y )

Para ∂ z ∂ y , derivamos z em relação a y , fixando o valor de x . Usaremos novamente a regra da cadeia:

∂ z ∂ y = f ' x y ∂ ∂ y x y  

∂ z ∂ y = x ⋅ f ' ( x y )

Passo 4

Agora a nossa função é:

z = f x y

Novamente, temos uma função dentro da função f , a razão x y .

Para ∂ z ∂ x , derivamos z em relação a x , fixando o valor de y .

∂ z ∂ x = f ' x y ⋅ ∂ ∂ x x y

∂ z ∂ x = 1 y ⋅ f ' x y

Para ∂ z ∂ y , derivamos z em relação a y , fixando o valor de x .

∂ z ∂ y = f ' x y ⋅ ∂ ∂ y x y

Como x é constante nessa derivada, pode sair, aí temos

∂ z ∂ y = x ⋅ f ' x y ⋅ ∂ ∂ y 1 y

∂ z ∂ y = - x y 2 ⋅ f ' x y

Resposta

  1. ∂ z ∂ x = f ' x g y e ∂ z ∂ y = f x g ' y
  2. ∂ z ∂ x = y ⋅ f ' ( x y ) e ∂ z ∂ y = x ⋅ f ' ( x y )
  3. ∂ z ∂ x = 1 y ⋅ f ' x y e ∂ z ∂ y = - x y 2 ⋅ f ' x y
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10- Seja u x ,y = f x - a y + g ( x + a y ) , onde a é uma constante real e f e g são funções quaisquer de uma variável real, deriváveis até segunda ordem. Verifique que ∂ 2 u ∂ y 2 = a 2 ∂ 2 u ∂ x 2
7. Se f (x , y) = x e^((x)/(y)) , mostre que x (del^3 f)/(del x^3) + y (del^3 f)/(del y del x^2) = 0
6-Se f (x , y) = ln (x - y) + t g (x + y) , mostre que (del^2 f)/(del x^2) = (del^2 f)/(del y^2)
Nos exercício de 1 a 4, calcule as derivadas parciais indicadas.1- f x ,y = x 2 + y 2 3 2 , a ) f x x x ,y , b ) f y x ( x ,y )
8. Mostre que as funções satisfazem as respectivas equações de laplace:b) f ( x , y ) = 1 x 2 + y 2 + z 2 , mostrar que ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 = 0 .