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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.12 - Ex. 4

Nos exercício de 1 a 4, calcule as derivadas parciais indicadas.

4- f x ,   y ,   z = y 2 z + s e n ( x 2 z ) ,                                     a ) f x z x ,   y ,   z ,                                         b ) f y z x ( x ,   y ,   z )

Passo 1

Gente, nem precisa esquentar a cabeça com esse negócio de derivadas parciais. Olha, aquelas regrinhas de derivação continuam valendo, as regras do produto, do quociente e a regra da cadeia também. Mas a gente vai ter que ter mais atenção para não sair derivando tudo, né ?! Se tiver por exemplo uma expressão ou termos multiplicados que não tenham a nossa parcial de interesse, o resultado dessa derivada é zero. Ao utilizar a regra da cadeia nós fazemos o mesmo processo para a função de fora e usamos a derivada parcial só pra função de dentro, sacou ?! Isso vai ficar mais claro se resolvermos o exercício, então vamos lá!

Passo 2

a)Galerinha, nós temos isso aqui:

f x z x ,   y ,   z = ∂ 2 f ∂ z ∂ x = ∂ ∂ z ∂ f ∂ x

Assim,

f x y x ,   y ,   z = ∂ ∂ z 2 x z cos ⁡ ( x 2 z )  

= 2 x   cos ⁡ ( x 2 z ) - 2 x z   x 2 s e n ( x 2 z )

Vamos dar um up nessa expressão, né ?!

f x y x ,   y ,   z = 2 x   ( cos ⁡ x 2 z - z x 2 s e n x 2 z )

Prontinho!

Passo 3

b)Nesse caso,

f y z x x ,   y ,   z = ∂ ∂ x f y z ( x ,   y ,   z )

Nós sabemos que:

f y z ( x ,   y ,   z ) = ∂ 2 f ∂ z ∂ y = ∂ ∂ z ∂ f ∂ y

Assim,

f y z ( x ,   y ,   z ) = ∂ ∂ z 2 y z

= 2 y

Passo 4

Agora, vamos para a outra parte:

f y z x x ,   y ,   z = ∂ ∂ x ( 2 y )

= 0

Vocês também acham estranho quando o resultado dá zero ?! Mas é isso mesmo.

Resposta

  1. 2 x   ( cos ⁡ x 2 z - z x 2 s e n x 2 z )
  2. 0
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5-Seja f x ,y = x y 3 x 2 + y 2 ,x ,y ≠ ( 0 ,0 ) 0 ,x , y = ( 0,0 ) Mostre que ∂ 2 f ∂ x ∂ y ( 0 ,0 ) ≠ ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( 0 ,0 )
9. Se u e v são funções de x e y , de classe C 2 e satisfazem as equações de Cauchy-Riemman ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y e ∂ u ∂ y = - ∂ v ∂ x , mostre que u e v são harmônicas.
53-58. Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.53. f x ,y = x 3 y 5 + 2 x 4 y
Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem