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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.12 - Ex. 8a

8. Mostre que as funções satisfazem as respectivas equações de laplace:

a) f ( x , y ) = ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) , mostra que ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 .

Passo 1

Para resolver este exercício, apenas precisamos calcular as derivadas e checar se a identidade e verdadeira. Desta forma temos:

f x , y = ln ⁡ x 2 + y 2 → ∂ f ∂ x = 2 x x 2 + y 2 → ∂ 2 f ∂ x 2 = 2 x 2 + y 2 - 4 x 2 x 2 + y 2 2

Simplificando, temos:

2 x 2 + y 2 - 4 x 2 x 2 + y 2 2 = 2 x 2 + y 2 - 4 x 2 x 2 + y 2 2

E temos para y :

f x , y = ln ⁡ x 2 + y 2 → ∂ f ∂ y = 2 y x 2 + y 2 → ∂ 2 f ∂ y 2 = 2 x 2 + y 2 - 4 y 2 x 2 + y 2 2

Simplificando, temos:

2 x 2 + y 2 - 4 y 2 x 2 + y 2 2 = 2 x 2 + y 2 - 4 y 2 x 2 + y 2 2

Substituindo na identidade:

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 2 x 2 + y 2 - 4 x 2 x 2 + y 2 2 + 2 x 2 + y 2 - 4 y 2 x 2 + y 2 2

Agora agrupando os termos em comum temos:

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 4 x 2 + y 2 - 4 ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 2 = 0

Resposta

Identidade verificada acima.

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