Enunciado

Nos exercício de 1 a 4, calcule as derivadas parciais indicadas.

3- f x ,   y = ln ⁡ ( x 2 + 8 y - 3 z 2 ) ,                                     a ) f x x x ,   y ,   z ,                                         b ) f z y ( x ,   y ,   z )

Passo 1

Gente, nem precisa esquentar a cabeça com esse negócio de derivadas parciais. Olha, aquelas regrinhas de derivação continuam valendo, as regras do produto, do quociente e a regra da cadeia também. Mas a gente vai ter que ter mais atenção para não sair derivando tudo, né ?! Se tiver por exemplo uma expressão ou termos multiplicados que não tenham a nossa parcial de interesse, o resultado dessa derivada é zero. Ao utilizar a regra da cadeia nós fazemos o mesmo processo para a função de fora e usamos a derivada parcial só pra função de dentro, sacou ?! Isso vai ficar mais claro se resolvermos o exercício, então vamos lá!

Passo 2

a)Galerinha, nós sabemos que:

f x x x ,   y ,   z = ∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x

Assim,

f x x x ,   y = ∂ ∂ x ( ∂ ∂ x ln ⁡ ( x 2 + 8 y - 3 z 2 ) )

f x x x ,   y = ∂ ∂ x 1 x 2 + 8 y - 3 z 2 × 2 x  

= ∂ ∂ x 2 x x 2 + 8 y - 3 z 2

= 2 × x 2 + 8 y - 3 z 2 - 2 x × 2 x x 2 + 8 y - 3 z 2 2

Arrumando um pouco essa bela expressão , temos:

2 - x 2 + 8 y - 3 z 2 x 2 + 8 y - 3 z 2 2

Passo 3

b)Galerinha, nós temos isso aqui:

f z y x ,   y = ∂ 2 f ∂ y ∂ z = ∂ ∂ y ∂ f ∂ z

Assim,

f x y x ,   y = ∂ ∂ y - 6 z x 2 + 8 y - 3 z 2  

= - ( - 6 z × 8 ) x 2 + 8 y - 3 z 2 2

= 48 z x 2 + 8 y - 3 z 2 2  

Foi tranqss, né ?!

Resposta

  1. 2 - x 2 + 8 y - 3 z 2 x 2 + 8 y - 3 z 2 2
  2. 48 z x 2 + 8 y - 3 z 2 2  
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 51-54, verifique que w x y = w y x .
Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-50.
Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-50.
Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-50.
Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-50.