Encontrar ∆y e dy para os valores dados:

(c) y = (2x + 1) / (x - 1) ; ∆x = 0,1 ; x = -1 .

Passo 1

Para x = - 1 , temos calculado o valor de y , que aqui vamos chamar de y_1 :

y_1 = (2 * (- 1) + 1)/((- 1) - 1)

y_1 = (- 2 + 1)/(- 2)

:. y_1 = (1)/(2)

Passo 2

Para um valor de Delta x = 0,1 , partindo do ponto onde x = - 1 , vamos ter y_2 :

y_2 = (2 * (- 1 + 0,1) + 1)/((- 1 + 0,1) - 1)

y_2 = (- 2,2 + 1)/(- 1,1 - 1)

y_2 = (- 1,2)/(- 2,1)

:. y_2 = (1,2)/(2,1)

Determinamos Delta y pela diferença entre y_1 e y_2 :

Delta y = y_1 - y_2 = (1)/(2) - (1,2)/(2,1)

:. Delta y tilde= - 0,071

Passo 3

Pra determinar d y , partimos da definição que (d y)/(d x) = y ' . Derivando nossa função, pela regra do quociente, vamos ter:

y^' = (2 * (x - 1) - ( 2 x + 1 ))/(( x - 1 )^2)

Aplicando o valor de x = - 1 na expressão de y ' , resultamos em:

y^' = (2 * (- 1 - 1) - ( 2 * ( - 1 ) + 1 ))/(( - 1 - 1 )^2)

:. y^' = (- 3)/(4) = - 0,75

Escrevemos que d y = y ' * d x , onde d x vai equivaler a Delta x = 0,1 . Teremos:

:. d y = - 0,75 * 0,1 = - 0,075

Repare que d y e Delta y são valores próximos. Quanto menor for Delta x , logo, d x , a diferencial no eixo das abscissas, mais próximos serão os valores de d y e Delta y .

Resposta

Delta y tilde= - 0,071

d y = - 0,075

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