Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.8 - Ex. 63
Lembre-se de que uma função é chamada par se para todo em seu domínio, e ímpar se para cada um destes . Demonstre cada uma das afirmativas a seguir
- A derivada de uma função par é uma função ímpar
- A derivada de uma função ímpar é uma função par
Passo 1
E aí, tudo bem?! Esse é um probleminha de demonstração! Temos que demostrar que:
- A derivada de uma função par é uma função ímpar;
- A derivada de uma função ímpar é uma função par
Pra isso a gente tem que ter em mente que uma função é par quando:
E ímpar quando:
Pra fazer a demonstração a gente vai usar a definição da derivada que é:
Passo 2
Colocando a mão na massa, na letra (a) temos como uma função par:
Queremos provar que a sua derivada é ímpar, então:
Temos que:
Como é par, então ela é igual a e:
Então:
Podemos fazer:
Fazendo :
Então temos:
Portanto derivada da função par é ímpar!
Passo 3
Agora temos que é ímpar, então:
Agora escrevemos :
Queremos provar que:
Afinal a derivada de uma função ímpar é par! Como é ímpar podemos fazer:
Então:
Também podemos fazer:
Assim:
Seja :
Assim:
Prontinhoo!!!!
Resposta
Demonstração!