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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.3 - Ex. 10

Nos Exercícios 7-12, encontre uma função potencial ƒ para o campo F

F = ( y s e n ⁡ z ) i + ( x s e n ⁡ z ) j + ( x y c o s ⁡ z ) k

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Definimos um campo F → como conservativo se F → for um campo gradiente ∇ → f para uma função derivável f . Confira a seguir a resolução.

Passo 2

Seja o campo F → = ( y s e n ⁡ z ) i → + ( x s e n ⁡ z ) j → + ( x y c o s ⁡ z ) k → = ∇ ‾ f E ∇ → f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k → , podemos escrever que:

∂ f ∂ x = y s e n ⁡ z , ∂ f ∂ y = x s e n ⁡ z , ∂ f ∂ z = x y c o s ⁡ z

Passo 3

Então, você terá que:Se ∂ f ∂ x = y s e n ⁡ z então f = ∫ y s e n ⁡ z d x = x y s e n ⁡ z + g ( y , z ) Se ∂ f ∂ y = x s e n ⁡ z + ∂ g ∂ y = x s e n ⁡ z então ∂ g ∂ y = 0   g = h ( z ) Se ∂ f ∂ z = x y c o s ⁡ z + d h d z = x y c o s ⁡ z então ∂ h ∂ z = 0 e h = C

Passo 4

Assim chegaremos ao resultado final:

f ( x , y , z ) = x y s e n ⁡ z + C

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o rotacional.vec F (x , y , z) = x y vec i - x^2 vec j
Considere o campo de força central g → x , y = f r → r → onde f :R → R é uma função derivável e r → = x i → + y j → . Calcule r o tg → .
Considere o escoamento v → x , y =- y ( x 2 + y 2 ) α i → + x ( x 2 + y 2 ) α j → Onde α0 é uma constante. Verifique que r o tv → x , y ≠ 0 → para α ≠ 1 .
Considere o escoamento bidimensional v → x , y =- y x 2 + y 2 i → + x x 2 + y 2 j → .Desenhe tal campo.Calcule r o tv → e interprete-o.
Seja F → = P i → + Q j → uma campo vetorial de R 2e mR 2 , com PeQ diferenciáveis. Sejam u → = cos ⁡ αi → + s e nαj → e v → = - s e nα i → + cos ⁡ αj → , onde α ≠ 0 é um real dado. Seja s , t as coord