7. Determinar o trabalho realizado pela força conservativa f → = (yz, xz, xy + 1) nos seguintes deslocamentos:

(b) ao longo do arco de parábola x = y^2 - 1 , z = 2 , do ponto A(-1,0,2) ao ponto B(3,-2,2);

Passo 1

Como ele já nos diz que é conservativa,

vamos determinar a função potencial u(x,y,z).

Temos

∂ u ∂ x = y z                 1

∂ u ∂ y = x z                 2

∂ u ∂ z = x y + 1                     3

Integrando a equação (1) em relação a x, ficamos com

u = ∫ y z   d x

u = x y z + a y , z

Obs: aqui a y , z é a constante de integração (ela é constante em relaçao a x)

Agora derivamos esse resultado em relação a y

∂ u ∂ y = x z + ∂ a ∂ y

Se compararmos agora com a equação (2), percebemos que

∂ a ∂ y = 0

Então a é constante em relação a y também, então podemos escrever a z .

Substituindo na expressão de u

u = x y z + a z

Derivando esse resultado em relação a z

∂ u ∂ z = x y + ∂ a ∂ z

Comparando com a equação (3), temos que

∂ a ∂ z = 1

Se integrarmos em relação a z, ficamos com

a = z + C

Onde C é a constante de integração final.

Substituindo na expressão de u

u = x y z + z + C

Por final, temos

∫ C f → ⋅ d r →   = u 3 , - 2 , 2 - u - 1 , 0 , 2

= ( 3 × - 2 × 2 + 2 + C ) - ( - 1 × 0 × 2 + 2 + C )

= - 12 + 2 + C - 0 - 2 - C

= - 12

Resposta

-12

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados