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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.3 - Ex. 7

Nos Exercícios 7-12, encontre uma função potencial ƒ para o campo F

F = 2 x i + 3 y j + 4 z k

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Definimos um campo F → como conservativo se F → for um campo gradiente ∇ → f para uma função derivável f .

Passo 2

Seja o campo F → = 2 x i ‾ + 3 y j → + 4 z k → = ∇ ‾ f Com isso: ∇ ‾ f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k → , podemos escrever que:

∂ f ∂ x = 2 x , ∂ f ∂ y = 3 y , ∂ f ∂ z = 4 z

Passo 3

Portanto, você deve calcular e encontrar o que segue:Se ∂ f ∂ x = 2 x então f = ∫ 2 x d x + g ( y , z ) = x 2 + g ( y , z ) Se ∂ f ∂ y = ∂ g ∂ y = 3 y então g = ∫ 3 y d y = 3 2 y 2 + h ( z ) Se ∂ f ∂ z = ∂ h ∂ z = 4 z então h = ∫ 4 z d z = 2 z 2 + C

Passo 4

Sendo f ( x , y , z ) = x 2 + g + h + C , encontramos a solução desta atividade na seguinte construção:

f ( x , y , z ) = x 2 + 3 y 2 2 + 2 z 2 + C

Resposta

Resposta nos passos.

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10) Sejam V (x, y) = x2 + y2 e (x, y) = P (x, y) + Q (x, y) , com P e Q contínuas em ℝ2, tais que, para todo ( x ,y )≠0 ,0 , ∇Vx ,y ⋅ F x , y0 . Seja γ t = x t ,y t ≠ 0,0 ,t ≥ 0 talque γ ' t = F γ t d
5) Seja F=∇φ , onde φ( x ,y )=y-x 2 . Desenhe F(x, y) com (x, y)na parábola y=x 2
6 ) Seja F = grad f , onde f ( x , y z ) = x^2 + y^2 + z^2 . Desenhe F(x, y, z),com x^2 + y^2 + z^2 = 1 , x0 , y0 e z0 .
10) Sejam V (x, y) = x2 + y2 e (x, y) = P (x, y) + Q (x, y) , com P e Q contínuas em ℝ2, tais que, para todo ( x ,y )≠0 ,0 , ∇Vx ,y ⋅ F x , y0 . Seja γ t = x t ,y t ≠ 0,0 ,t ≥ 0 talque γ ' t = F γ t P
4 ) Seja F=∇f , onde f (x, y) = x + 2y. Desenhe F(x, y), com (x, y)na reta x + 2y = 1.