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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.3 - Ex. 9

Nos Exercícios 7-12, encontre uma função potencial ƒ para o campo F

F = e y + 2 z ( i + λ j + 2 x k )

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Definimos um campo F → como conservativo se F → for um campo gradiente ∇ → f para uma função derivável f . Com isso vamos resolver essa questão. Vamos lá!

Passo 2

Seja o campo F → = e y + 2 z ( i → + x j → + 2 x k ‾ ) = ∇ ‾ f E ∇ → f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k → , podemos escrever que:

∂ f ∂ x = e y + 2 z , ∂ f ∂ y = x e y + 2 z , ∂ f ∂ z = 2 x e y + 2 z

Passo 3

Então, teremos que:Se ∂ f ∂ x = e y + 2 z então f = ∫ e y + 2 z d x = x e y + 2 z + g ( y , z ) Se ∂ f ∂ y = x e y + 2 z + ∂ g ∂ y = x e y + 2 z então ∂ g ∂ y = 0   g = C Se ∂ f ∂ z = 2 x e y + 2 z + d h d z = 2 x e y + 2 z então ∂ h ∂ z = 0 e h = C

Passo 4

Assim, você encontrará o resultado da seguinte forma:

f ( x , y , z ) = x e y + 2 z + C

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo encontrar uma função potencial.d) f → = y 2 - 3 - y x 2 + x y i → + 1 x + y + 2 x y + 2 y j →
Calcule o rotacional.vec F (x , y , z) = x vec i + y vec j + x z vec k
Calcule o rotacional.vec F (x , y , z) = - y vec i + x vec j + z vec k
Seja φ :Ω ⊂ R 2 → R , Ω aberto, de classe C 2 . Verifique que o campo vetorial F → =∇ φ é irrotacional.
Calcule o rotacional.vec F (x , y , z) = (x^2 + y^2) vec i