Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.6 - Ex. 4.g

4. Verificar que as integrais são independentes do caminho de integração e determinar seus valores.

g) ∫ 0,0 π , 1 e y c o s x   d x + e y s e n x   d y

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas parciais de primeira ordem para saber se é conservativo.

Sendo

f 1 = e y c o s x  

f 2 = e y s e n x  

As derivadas

∂ f 1 ∂ y = e y c o s x

∂ f 2 ∂ x = e y c o s x

Como ∂ f 1 ∂ y = ∂ f 2 ∂ x = e y c o s x ,   então é conservativo.

Passo 2

Agora vamos determinar a função potencial u(x,y).

Temos

∂ u ∂ x = e y c o s x                   1

∂ u ∂ y = e y s e n x                 2

Integrando a equação (1) em relação a x, ficamos com

u = ∫ e y c o s x   d x

u = e y s e n x + a y

Obs: aqui a y é a constante de integração (ela é constante em relaçao a x)

Agora derivamos esse resultado em relação a y

∂ u ∂ y = e y s e n x + ∂ a ∂ y

Se compararmos agora com a equação (2), percebemos que

∂ a ∂ y = 0

Então a é constante e vamos chamar a = C.

Onde C é a constante de integração final.

Substituindo na expressão de u

u = e y s e n x + C

Por final, temos

∫ 0,0 π , 1 e y c o s x   d x + e y s e n x   d y = u π , 1 - u 0,0

= ( e 1 × s e n π + C ) - ( e 0 × s e n 0 + C )

= e 1 × 0 + C - 1 × 0 - C

= 0

Resposta

0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o campo vetorial F, desenhando um diagrama como o da Figura 5 ou da Figura 9 F x , y , z = j
Esboce o campo vetorial F, desenhando um diagrama como o da Figura 5 ou da Figura 9 F → x , y , z = zj ^
Esboce o campo vetorial F → , desenhando um diagrama como o da Figura 5 ou da Figura 9 F → x , y , z = yj ^
Esboce o campo vetorial F → , desenhando um diagrama como o da Figura 5 ou da Figura 9 F → x , y , z = j ^ - i ^
Case as funções com os desenhos de seus campos de vetor gradiente (rotulados de I-IV). Dê razões para suas escolhas. f x , y = x 2 + y 2