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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 4

Determine os valores de a e b tal que a função

f x = a x + b x 2 - 1

tenha um valor extremo local 1 quando x = 3 . Esse extremo é um máximo ou mínimo local? Justifique sua resposta.

Passo 1

A informação de que existe um extremo local para um determinado valor de x implica que a função possui um ponto crítico nesse ponto x . Então, deve ser feita a derivada da função e o resultado obtido deve ser igualado a zero.

Como há duas incógnitas a a serem descobertas, podemos julgar que irão surgir duas equações que devem ser analisadas em conjunto para encontrar o valor de tais incógnitas.

Passo 2

Logo, derivando a função:

f ' x = a x 2 - 1 - 2 x a x + b x 2 - 1 2

f ' x = - a x 2 + 2 b x + a x 2 - 1 2 = 0

Aplicando o ponto no qual existe um extremo local ( x = 3 ):

- a 3 2 + 2 b 3 + a 3 2 - 1 2 = 0

5 a + 3 b = 0

Passo 3

Além disso, em x = 3 o valor do extremo local é igual a 1. Portanto:

f 3 = 3 a + b 3 2 - 1

3 a + b = 8

Passo 4

Montando um sistema com essas duas equações encontradas, pode-se obter os valores a = 6 e b = - 10 . Então, a derivada será dada por:

f ' x = - 6 x 2 - 2 0 x + 6 x 2 - 1 2

Igualando esta equação a zero, iremos encontrar os pontos críticos x = - 1 , x = 1 / 3 , x = 1 , x = 3 .

Passo 5

Para saber se o extremo x = 3 é um máximo ou mínimo local, é necessária a análise da função antes e depois desse ponto. Então:

Para 1 < x < 3 , f ' ( x ) é positivo;

Para x > 3 , f ' ( x ) é negativo.

Portanto, o ponto x = 3 é um máximo local com valor 1 .

Resposta

Máximo local: (3, 1).

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Para cada um dos números a , b , c , d , r e s , diga se a função cujo gráfico é dado tem um máximo ou mínimo absoluto, um máximo ou mínimo local, ou nem máximo, nem mínimo.
a) Esboce o gráfico de uma função em [ - 1,2 ] que tenha um máximo absoluto, mas não tenha mínimo absoluto.b) Esboce o gráfico de uma função em [ - 1,2 ] que seja descontínua, mas tenha tanto máximo a
Use o gráfico para dizer quais os valores máximos e mínimos locais e absolutos da função.
Use o gráfico para dizer quais os valores máximos e mínimos locais e absolutos da função.
Esboce o gráfico de uma função f que seja contínua em [ 1,5 ] e tenha as propriedades dadas:Máximo absoluto em 5 , mínimo absoluto em 2 , máximo local em 3 e mínimo local em 2 e 4 .