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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 130

Encontrar os máximos e mínimos absolutos da função y = 10 x 2 - ln ⁡ 2 x no intervalo 0 , e 2 .

Passo 1

Os “candidatos” a máximo e mínimo absolutos são os limites do intervalo e raízes da primeira derivada. Nesse caso, o único limite do domínio que é “candidato” é e 2 , pois o domínio é aberto em 0 . Fazendo primeiro o limite do intervalo:

x = e 2 ⇒ y = 10 e 2 2 - ln ⁡ 2 e 2 = 10 e 2 2 - ln ⁡ 2 - 2 = - 10 e 2 ln ⁡ 2

Passo 2

Para achar as raízes da primeira derivada, fazemos:

y ' = 10 2 - ln ⁡ 2 x + 10 x - 1 2 x ∙ 2 = 0 ⇒ 20 - 10 ln ⁡ 2 x - 10 = 0 ⇒ 10 ln ⁡ 2 x = 10 ⇒

⇒ ln ⁡ 2 x = 1 ⇒ 2 x = e ⇒ x = e 2

Passo 3

É preciso saber se essa raiz é ponto de máximo, de mínimo ou de inflexão. Para isso, substituímos o seu valor na segunda derivada da função:

y ' ' = 10 - 10 ln ⁡ 2 x ' = - 10 ∙ 1 2 x ∙ 2 = - 1 0 x

x = e 2 ⇒ y ' ' = - 1 0 e 2 ⇒ y ' ' = - 20 e < 0

Portanto, x = e 2 é ponto de máximo local e “candidato” a ponto de máximo absoluto.

Passo 4

Substituímos esse “candidato” na função:

x = e 2 ⇒ y = 10 ∙ e 2 ∙ 2 - ln ⁡ 2 ∙ e 2 ⇒ y = 5 e

Passo 5

Portanto, como só temos 2 “candidatos”, o menor valor encontrado será o mínimo absoluto, enquanto o maior será o máximo absoluto.

Resposta

Mínimo absoluto:

e 2 , - 10 e 2 ln ⁡ 2

Máximo absoluto:

e 2 , 5 e

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