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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 125

As integrações dos itens (a) e (b) podem ambas estar corretas? Explique.

  1. ∫ d x 1 - x 2 = s e n - 1 x + c
  2. ∫ d x 1 - x 2 = - ∫ - d x 1 - x 2 = - cos - 1 ⁡ x + c

Passo 1

Para resolver a integral dada, podemos utilizar qualquer uma das seguintes mudanças de variável:

x = cos ⁡ u   → d x = - sin ⁡ u d u

Ou

x = sin ⁡ v → d x = cos ⁡ v   d v

Passo 2

Para a primeira substituição. Temos:

∫ d x 1 - x 2 = ∫ - sin ⁡ u d u 1 - cos 2 ⁡ u = ∫ - d u = - u + c

Substituindo de volta o valor de u, temos:

∫ d x 1 - x 2 = - arccos ⁡ x + c = cos - 1 ⁡ x + c

Passo 3

Para a primeira substituição. Temos:

∫ d x 1 - x 2 = ∫ c o s v   d v 1 - sin 2 ⁡ v = ∫ d v = v + c

Substituindo de volta o valor de v, temos:

∫ d x 1 - x 2 = arcsin  ⁡ x + c = sin - 1 ⁡ x + c

Passo 4

Vemos, portanto, que as mudanças de variáveis, resultam em resultados diferentes, entretanto ambas estão corretas, já que as funções seno e cosseno apresentam o mesmo comportamento, a única diferença é que são defasadas de π 2 . Logo, comparando as respostas com a defasagem de π 2 , temos:

cos ⁡ x + π 2 = - sin ⁡ x

Assim, ambas as integrações estão corretas.

Resposta

S i m ,   a m b a s   a s   i n t e g r a ç a õ e s   e s t ã o   c o r r e t a s .

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