Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 54
Determinar a derivada direcional da função no ponto , na direção da normal exterior à elipse no ponto .
Passo 1
Para acharmos a derivada na direção do vetor vamos usar aquela relação lá da teoria, se liga só:
Então vamos começar encontrando .
Passo 2
A ideia será encontrar a equação da reta tangente a elipse no ponto e, em seguida, verificar a direção da reta normal. A elipse que ele nos deu foi a seguinte:
Como o coeficiente angular da reta tangente é a derivada o ponto vamos encontrar Derivando:
Logo,
No ponto :
Então a equação da reta fica assim ó:
Simplificando:
Olhando para expressão da reta vemos que o vetor diretor é . Portanto, um vetor normal a essa reta será:
Passo 3
Agora vamos achar o gradiente. Para isso vamos lembrar da seguinte expressão:
Substituindo:
Derivando parcialmente:
Arrumando as coisas:
Para o ponto :
Simplificando:
Passo 4
Usando a expressão do Passo 1 no ponto :
Substituindo com o que achamos no Passo anterior:
Assim,
Fazendo o produto escalar:
Portanto,