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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 54

Determinar a derivada direcional da função z = y - 1 2 x no ponto P 0 1 , 2 , na direção da normal exterior à elipse 2 x 2 + 3 y 2 = 8 no ponto P 0 .

Passo 1

Para acharmos a derivada na direção do vetor v → vamos usar aquela relação lá da teoria, se liga só:

∂ z ∂ v x , y = ∇ z x , y ⋅ v v

Então vamos começar encontrando v .

Passo 2

A ideia será encontrar a equação da reta tangente a elipse no ponto P 0 e, em seguida, verificar a direção da reta normal. A elipse que ele nos deu foi a seguinte:

2 x 2 + 3 y 2 = 8

Como o coeficiente angular da reta tangente é a derivada o ponto vamos encontrar y ' . Derivando:

4 x + 6 y y ' = 0

Logo,

y ' = - 2 x 3 y

No ponto P 0 1 , 2 :

m t = - 2 3 2

Então a equação da reta fica assim ó:

y - 2 = - 2 3 2 × x - 1

Simplificando:

2 x + 3 2 y - 8 = 0

Olhando para expressão da reta vemos que o vetor diretor é 2 , 3 2 . Portanto, um vetor normal a essa reta será:

v = - 3 2 , 2

Passo 3

Agora vamos achar o gradiente. Para isso vamos lembrar da seguinte expressão:

∇ z x , y = ∂ z ∂ x i → + ∂ z ∂ y j →

Substituindo:

∇ z x , y = ∂ y - 1 2 x ∂ x i → + ∂ y - 1 2 x ∂ y j →

Derivando parcialmente:

∇ z x , y = y - 1 2 × - 1 x 2 i → + 2 × y - 1 x × 1 j →

Arrumando as coisas:

∇ z x , y = - y - 1 2 x 2 i → + 2 y - 1 x j →

Para o ponto P 0 :

∇ z 1 , 2 = - 2 - 1 2 1 2 i → + 2 2 - 1 1 j →

Simplificando:

∇ z 1 , 2 = - 3 + 2 2 , 2 2 - 2

Passo 4

Usando a expressão do Passo 1 no ponto P 0 :

∂ z ∂ v 1 , 2 = ∇ f 1 , 2 ⋅ - 3 2 , 2 - 3 2 , 2

Substituindo com o que achamos no Passo anterior:

∂ z ∂ v 1 , 2 = - 3 + 2 2 , 2 2 - 2 ⋅ - 3 2 , 2 - 3 2 , 2

Assim,

∂ z ∂ v 1 , 2 = - 3 + 2 2 , 2 2 - 2 ⋅ - 3 2 , 2 - 3 2 2 + 2 2

Fazendo o produto escalar:

∂ z ∂ v 1 , 2 = 9 2 - 12 + 4 2 - 4 22

Portanto,

∂ z ∂ v 1 , 2 = 13 2 - 16 22

Resposta

∂ z ∂ v 1 , 2 = 13 2 - 16 22

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