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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 52a

Determinar dois vetores unitários para os quais a derivada direcional de f no ponto dado é zero.

a) f x , y = x 3 y 3 - x y , P 10,10

Passo 1

Para acharmos a derivada na direção do vetor v → vamos usar aquela relação lá da teoria, se liga só:

∂ f ∂ v x , y = ∇ f x , y ⋅ v v

Passo 2

Agora vamos encontrar o gradiente de f . Para isso, vamos fazer o seguinte:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j →

Substituindo a expressão de f :

∇ f x , y = ∂ x 3 y 3 - x y ∂ x i → + ∂ x 3 y 3 - x y ∂ y j →

Derivando parcialmente:

∇ f x , y = ( 3 x 2 y 3 - y )   i → + 3 y 2 x 3 - x   j →

Para o ponto 10,10 :

∇ f 10,10 = ( 3 × 10 2 × 10 3 - 10 )   i → + 3 × 10 2 × 10 3 - 10   j →

Fazendo as contas:

∇ f 10,10 = 299.990 i → + j →

Reescrevendo,

∇ f 10,10 = 299.990 1,1

Passo 3

Voltando para formula do Passo 1, temos:

∂ f ∂ v 10,10 = ∇ f 10,10 ⋅ v v

Como queremos vetores unitários, então v = 1 e que a derivada direcional no ponto 10,10 seja nula. Além disso, sabemos que ∇ f 10,10 = 299.990 1,1 . Assim,

0 = 299.990 1,1 ⋅ v 1

Simplificando:

1,1 ⋅ v = 0

Considerando v = a , b :

1,1 ⋅ a , b = 0

Fazendo o produto escalar:

a + b = 0 → a = - b

Portanto,

v = a , - a

Passo 4

Como o vetor v possui módulo 1, temos o seguinte:

a 2 + - a 2 = 1

Isto é,

2 a 2 = 1

Tirando o a 2 da raiz:

a 2 = 1 → a = ± 1 2

Para a = 1 / 2 :

v 1 = 1 2 ,   - 1 2

E para a = - 1 / 2 :

v 2 = - 1 2 ,   1 2

Resposta

v 1 = 1 2 ,   - 1 2 ; v 2 = - 1 2 ,   1 2

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