Exercícios de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional - Lista de Exercícios Resolvida

Seja a função

E o ponto . Determine:

1. A direção na qual a taxa de variação de em é máxima.
2. O valor dessa taxa de variação máxima.

Considere a função Para que a derivada direcional seja máxima, o ângulo que o vetor deve formar com o eixo é:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

O Capitão Astro está outra vez em perigo perto da órbita de Mercúrio. Ele está na posição , e a temperatura da blindagem de sua espaçonave num ponto é dada por graus.

1. Que direção ele deve tomar para perder temperatura o mais rápido possível?
2. Se a espaçonave viaja a unidades de comprimento por segundo, com que taxa a temperatura irá cair quando ele seguir a direção do item a)?

Suponha que você esteja subindo uma montanha cuja forma é dada pela equação , em que , e são medidos em metros e você está em um ponto de coordenadas . O eixo positivo aponta para Leste e o eixo positivo aponta para Norte.

a) Se você andar exatamente para o Sul, começará a subir ou a descer? Com que taxa?

b) Se você caminhar em direção ao Nordeste, começará a subir ou a descer? A que taxa?

c) Em que direção a inclinação é maior? Qual a taxa de elevação nessa direção?

A derivada direcional de num ponto é maior na direção e sentido de . Nessa direção o valor da derivada é . Qual é o gradiente de em ?

(a)

(b)

(c)

(d)

(e) Nenhuma das demais alternativas.

Uma montanha tem a superfície descrita por

Um esquiador está no ponto .

Se o esquiador quiser descer o mais rápido possível, em que direção e sentido ele deve tomar? Qual a taxa de descida?

Suponha-se que a pressão atmosférica na posição seja pela função

Se você está na posição , encontre o vetor que da direção e sentido que você precisa se mover, a fim de diminuir a pressão atmosférica, o mais rápido possível.

5. Nenhuma das outras alternativas

Considere . Se é um vetor unitário tal que é máxima, então vale:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Considere a função Para que a derivada direcional seja máxima, o ângulo que o vetor deve formar com o eixo é:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Seja a reta tangente, no ponto à curva que é a interseção do gráfico de com a superfície de equação . Considere a função . Sabe-se que a direção de máximo crescimento de num ponto , é paralela à reta .

Determine , a direção e sentido de maior crescimento de em e a maior taxa de variação de nesse ponto.

Suponha que você esteja subindo uma montanha cuja forma é dada pela equação , em que , e são medidos em metros e você está em um ponto de coordenadas . O eixo positivo aponta para Leste e o eixo positivo aponta para Norte.

a) Se você andar exatamente para o Sul, começará a subir ou a descer? Com que taxa?

b) Se você caminhar em direção ao Nordeste, começará a subir ou a descer? A que taxa?

c) Em que direção a inclinação é maior? Qual a taxa de elevação nessa direção?

A distribuição de temperatura em uma chapa metálica é dada por , onde é medido em graus Celsius e em metros. Se um sensor de temperatura se desloca a partir do ponto na direção e sentido da derivada direcional máxima nesse ponto, qual a temperatura após metros?

Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

b)

A temperatura é graus em qualquer ponto de uma placa retangular situada no plano e . A distância é medida em metros.

1. Ache a direção e o sentido em que a taxa de variação é máxima em .

Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

a)

Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

c)

Seja diferenciável. Sabendo-se que no ponto o vetor aponta na direção e sentido de maior crescimento de em e que a derivada direcional de no ponto na direção de é , determine .

Seja a função dada por

Determine todos os pontos em nos quais a direção de maior variação de é .

Seja

Onde é uma constante. Se cresce mais rapidamente no ponto na direção do vetor , então vale:

Seja uma função diferenciável em tal que

Seja a curva de equação

E um veto não nulo, tangente a em . Considere as afirmativas.

1. A derivada direcional
3. Se é um vetor qualquer e , então
4. é a equação da reta normal a em
5. Se é uma parametrização de e , então , onde

Assinale a resposta correta:

1. Todas são verdadeiras
2. Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras
3. Apenas a afirmativa IV é falsa
4. Apenas as afirmativas IV e V são falsas
5. Nenhuma das demais alternativas.

12. Num balão a temperatura em qualquer ponto diferente do centro é positiva e proporcional ao quadrado de sua distância ao centro . Calcule a taxa de variação da temperatura em seguindo um vetor unitário . Caracterize as taxas máxima, mínima e nula no ponto .

A temperatura de uma chapa plana é dada por . A partir do ponto , determine:

1. O gradiente da temperatura
2. A direção em que a temperatura cresce mais rápido e qual a taxa de crescimento.
3. A direção em que a temperatura decresce mais rápido e qual a taxa de decrescimento.
4. , em que faz um ângulo de com o gradiente de em

Suponha que a função dada por

represente uma distribuição de temperatura em . Considere uma partícula sobre o ponto . A direção e o sentido de maior crescimento da temperatura desta partícula são os mesmos do vetor:

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

Suponha que o potencial em uma lâmina plana é dado por

Onde é medido em volts e e em centímetros.

1. Determine a taxa de variação do potencial em qualquer direção paralela ao eixo , e em qualquer direção paralela ao eixo .
2. Determine a taxa de variação do potencial na direção do vetor
3. Qual é a taxa máxima de variação no ponto ?
4. Em que direção, a partir da origem, o potencial cresce mais rápido?

Seja

Considere um ponto pertencente à curva de nível de e que a derivada direcional máxima de em valha . Quantos pontos satisfazem a propriedade acima descrita?

nenhum

Questão 1

a) Se a temperatura em certa região do espaço é dada pela função e você está localizado no ponto e quer estar num ponto mais frio tão rápido quanto possível, em qual direção você deve seguir?

Considere a função:

1. Determine a taxa de variação máxima de em e a direção em que isso ocorre.
2. Calcule a derivada direcional de em na direção do vetor .
3. Mostre que

A equação da superfície de uma montanha é dada pela função

Onde as medições de e são feitas em metros. Um alpinista se encontra no ponto

1. Em qual direção o alpinista deve seguir para subir o mais rápido possível?
2. Se o alpinista se mover na direção do eixo positivo, ele estará subindo os descendo a montanha?

Quais são todos os pontos em que a direção de maior crescimento da função

É dada pelo vetor unitário

1. tais que e
5. tais que

Seja uma função diferenciável tal que o valor máximo de é igual a e ocorre quando . Se , e então é:

Seja uma função de classe em e considere dada por

1. Calcule , e em termos das derivadas parciais de .
2. Sabendo que o plano tangente ao gráfico de no ponto tem equação , determine o vetor e o valor de .
3. Determine o vetor unitário tal que a derivada direcional de seja máxima.

Questão 3: Considere a função , e o ponto .

1. Qual a taxa de variação de , por unidade de comprimento, ao deslocarmos em linha reta do ponto ao , quando estivermos em ?
2. Qual a direção (vetor unitário) de maior crescimento de no ponto ?
3. Qual a taxa máxima de variação (por unidade de comprimento) de no ponto ?

Determine a derivada direcional da função no ponto , na direção do ponto .

a)

Considere a função

Se é o vetor unitário na direção e é o vetor unitário na direção , então

1. No ponto , a máxima taxa de variação de é e a direção em que varia mais rapidamente é
2. No ponto , a máxima taxa de variação de é e a direção em que varia mais rapidamente é
3. No ponto , a máxima taxa de variação de é e a direção em que varia mais rapidamente é
4. No ponto , a máxima taxa de variação de é e a direção em que varia mais rapidamente é
5. No ponto , a máxima taxa de variação de é e a direção em que varia mais rapidamente é

Admita que

Represente uma distribuição de temperatura no plano . Determine uma parametrização para a trajetória descrita por um ponto que se desloca, a partir do ponto , sempre na direção e sentido de máximo crescimento da temperatura.

Admita que

Represente uma distribuição de temperatura no plano . Determine uma parametrização para a trajetória descrita por um ponto que se desloca, a partir do ponto , sempre na direção e sentido de máximo crescimento da temperatura.

Considere a função . Um vetor unitário tal que a derivada direcional seja máxima é:

Uma função diferenciável cresce mais rapidamente no ponto na direção de com taxa de variação igual a .

1. Determine .
2. Seja a superfície de nível de que passa pelo ponto . Encontre a equação do plano tangente a nesse ponto.

Suponha que o potencial numa lâmina plana é dada por

Em volts, e em cm.

1. Dado um ponto arbitrário , determine a taxa de variação do potencial na direção do vetor
2. Qual é a taxa máxima de variação do potencial no ponto ?
3. Em que direção, a partir da origem, o potencial aumenta mais rápido?
4. Em que direção, a partir da origem, o potencial se mantem constante?

Seja uma função com derivadas parciais . , contínuas. Sejam

E

Assuma que

Calcule o gradiente de no ponto . Calcule também a taxa de maior variação de no ponto

Seja

Então a derivada direcional máxima de no ponto ocorre na direção do vetor:

Suponha que represente uma distribuição de temperatura no plano e um indivíduo que se encontra na posição presente dar um passeio.

1. Descreva o lugar geométrico dos pontos que ele deveria percorrer para desfrutar sempre da mesma temperatura.
2. Qual a direção que deveria tomar se quisesse caminhar na direção de maior crescimento da temperatura?
3. Se e são medidos em e a temperatura em , de quanto a temperatura se elevará aproximadamente, caso caminhe na direção encontrada no item ?
4. De quanto decrescerá aproximadamente a temperatura, caso caminhe na direção ?

Se

No ponto , encontre a direção onde tem a máxima taxa de variação e determine o valor desta taxa.

O vetor que dá a direção e o sentido onde ocorre a maior taxa de variação de no ponto é:

6. nenhuma das demais alternativas

(Capítulo 14.6 – Exercício 31) A temperatura T em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro da bola, que tomamos como a origem. A temperatura no ponto (1,2,2) é de 120°.

a) Determine a taxa de variação de T em (1,2,2) em direção ao ponto (2,1,3).

b) Mostre que em qualquer ponto da bola a direção de maior crescimento na temperatura é dada por um vetor que aponta para a origem.

12 - Se o potencial elétrico em um ponto do plano é então o vetor campo elétrico no ponto é . Suponha que .

b) Mostre que, em cada ponto no plano, o potencial elétrico decresce mais rapidamente na direção e sentido do vetor .

(Capítulo 14.6 – Exercício 30) Próximo a uma boia, a profundidade de um lago com coordenadas (x,y) é , onde x, y, e z são medidos em metros. Um pescador que está em um pequeno barco parte do ponto (80, 60) em direção à boia, que está localizada no ponto (0, 0). A água sob o barco está ficando mais profunda ou mais rasa quando ele começa a se mover? Explique.

(Capítulo 14.6 – Exercício 34) Suponha que você esteja subindo uma montanha cuja forma é dada pela equação , onde x, y e z são medidos em metros e você está em um ponto com coordenadas (60, 40, 966). O eixo x positivo aponta para o leste e o eixo y positivo aponta para o norte.

(a) Se você andar exatamente para o Sul, começará a subir ou a descer? A que taxa?

(b) Se você caminhar em direção ao Noroeste, começará a subir ou a descer? A que taxa?

(c) Em que direção a inclinação é maior? Qual é a taxa de elevação nessa direção? Qual é o ângulo que o início desse caminho faz em relação à horizontal?

(Capítulo 14.6 – Exercício 28) Determine as direções em que a derivada direcional de no ponto (0, 2) tem valor 1.

A temperatura é graus em qualquer ponto de uma placa retangular situada no plano e . A distância é medida em metros.

1. Ache a taxa de variação máxima da temperatura no ponto da placa.

Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

a)

Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

c)

Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

b)