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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 49

Verifique que y = ln (x + e) satisfaz (d y)/(d x) = e^(- y) = (1)/(e) , com y = 1 quando x = 0 .

Passo 1

O exercício quer que façamos a comparação entre a derivada da função e o que ela precisar para ser igual ao valor da derivada fornecida pelo exercício, nas condições dadas.

A primeira coisa que faremos é tirar a derivada da função:

y = ln (x + e)

y^' = (d y)/(d x) = (1)/(x + e)

Passo 2

Agora, comparamos a derivada obtida com a derivada fornecida:

(d y)/(d x) = (d y)/(d x)

(1)/(x + e) = (1)/(e^y)

Quando aplicamos as condições dadas de y = 1 quando x = 0 , ficamos com:

(1)/(0 + e) = (1)/(e^1)

(1)/(e) = (1)/(e)

Dessa forma, a verificação está correta.

Resposta

(1)/(e) = (1)/(e)

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