Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.9 - Ex. 28
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Passo 1
Oi, pessoal! Tudo beleza por aí? 😊
Nessa questão, sabemos a terceira derivada
de uma função desconhecida , e queremos encontrar quem é essa função
Para resolvermos isso, vamos usar o conceito de primitivas. Você lembra o que é ser uma primitiva de uma função 🤔? Bem, uma primitiva da função , em um determinado intervalo , é uma função derivável cuja derivada é igual a . Isto é:
Mas a gente precisa tomar cuidado com uma coisa!
Se somarmos uma constante qualquer a primitiva , sua derivada ainda será igual a (pois a derivada de uma constante é zero). Então, a primitiva mais geral de é a função
onde é uma constante qualquer, beleza?
Vamos fazer o seguinte, para encontrar a função temos que encontrar as três primitivas abaixo:
- A primitiva de ou seja, é tal que
- A primitiva de ou seja, é tal que
- A primitiva de ou seja, é tal que
Faremos isso usando a Regra da Potência, que diz o seguinte: Uma primitiva de uma potência é dada por
pois a derivada de (usando a Regra da Potência para derivadas) é
O valor de só não poder ser , beleza? Pois nesse caso teríamos zero no denominador e isso não pode, né?
Agora vamos encontrar essas três primitivas e obter a função procurada! 😎
Passo 2
Começamos encontrando a primitiva de
Usando a Regra da Potência, e lembrando que , temos que a primitiva é dada por
ou seja,
Para confirmar que não fizemos besteira, derivando obtemos
Dessa forma, é a primitiva de .
Passo 3
Agora obtemos a primitiva de
Novamente, usando a Regra da Potência, temos que a primitiva é dada por
Simplificando os termos:
Vamos conferir se está tudo ok!
Derivando a função obtida, temos
Boa! Agora só precisamos encontrar mais uma primitiva.
Passo 4
Por fim, obtemos a primitiva de
Pela Regra da Potência, temos que:
Simplificando os termos, vamos ter que a função procurada (primitiva de ) é dada por
onde e são constantes quaisquer.
Vamos verificar se a derivada dessa função é realmente a função ?
Derivando , temos
Resposta
A função procurada é dada por:
onde e são constantes quaisquer.