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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.9 - Ex. 42

Encontre f .

f ' ' t = 3 t

f 4 = 20

f ' 4 = 7

Passo 1

Olá, tudo bem? Então meu amigo, vamos resolver uma atividade hoje. Pronto??

Veja bem, temos em mãos a seguinte situação, precisamos encontrar a função:

f

Tendo apenas a informação que:

f ' ' t = 3 t

f 4 = 20

f ' 4 = 7

Como fazer isso? Simples, iremos utilizar a integral, e utilizar essas informações para encontrarmos as constantes de integração.

Durante o processo de integração indefinida, temos a presença da constante de integração, e é essa constante que iremos encontrar com essas relações das funções que nos foram dadas.

Pode parecer confuso, mas você irá notar que é até simples.

Passo 2

Primeira coisa que iremos fazer é integrar f ' ' para encontrarmos f ' :

f ' t = ∫ 3   t d t

Lembre-se que t t = t - 1 2 , e a integral de t n é t n + 1 n + 1 :

f ' t = 3 ⋅ t 1 2 1 2 + C 1

f ' t = 6 t + C 1

Passo 3

Agora devemos encontrar f t :

Integrando f ' t = 6 t + C 1 em relação a t :

f t = ∫ 6 t + C 1 d t

A integral de 6 t = 6 t 1 2 é:

6 ⋅ t 3 2 3 2 = 4 t 3 2

A integral de C 1 é C 1 t . Assim:

f t = 4 t 3 2 + C 1 t + C 2 t

Passo 4

Agora iremos encontrar as constantes:

Usamos as condições inicias f 4 = 20 e f ' 4 = 7 .

Substituindo f ' 4 = 7 em f ' t = 6 t + C 1 :

7 = 6 4 + C 1

7 = 6 2 + C 1

7 = 12 + C 1

Então temos:

C 1 = - 5

Substituindo f 4 = 20 em f t = 4 t 3 2 + C 1 t + C 2 :

20 = 4 4 3 2 + - 5 4 + C 2

Calculando 4 3 2 = 8 :

20 = 4 8 - 20 + C 2

20 = 32 - 20 + C 2

Temos que:

20 = 12 + C 2

Temos que:

C 2 = 8

E nossa solução final é:

f t = 4 t 3 2 - 5 t + 8

Resposta

f t = 4 t 3 2 - 5 t + 8

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