Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.9 - Ex. 31
Encontre .
Passo 1
Bom pessoal, nessa questão temos a derivada de uma função:
E sabemos que:
E queremos encontrar a função .
Para achar vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função é chamada de antiderivada de :
E se é uma antiderivada de nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de :
onde é uma constante qualquer, afinal, quando derivamos a constante obtemos zero, logo somar uma constante a não muda em nada sua derivada.
Vamos usar a condição dada de que para encontrar o valor de .
Aqui vai nos ajudar saber a regra do polinômio:
Passo 2
Nossa derivada é:
Para facilitar vou transformar a raiz em potência e realizar a multiplicação distributiva:
A antiderivada do primeiro termo é:
E a antiderivada do segundo termo é:
Agora é só juntar tudo e somar uma constante para encontrar a antiderivada geral, que é a nossa função original:
Para encontrar faremos:
Logo,
Portanto, temos que:
Passo 3
Derivando , temos
Dessa forma, provamos que é a função original que resultou na derivada dada.