Encontre f .

f'(x) = raiz(x)(6 + 5x), f(1) = 10

Passo 1

Bom pessoal, nessa questão temos a derivada de uma função:

f ' x = x 6 + 5 x

E sabemos que:

f 1 = 10

E queremos encontrar a função f x .

Para achar f vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função F é chamada de antiderivada de f :

F ' x = f x

E se F é uma antiderivada de f nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f :

F x + C

onde C é uma constante qualquer, afinal, quando derivamos a constante obtemos zero, logo somar uma constante a F x não muda em nada sua derivada.

Vamos usar a condição dada de que f 1 = 6 para encontrar o valor de C .

Aqui vai nos ajudar saber a regra do polinômio:

x n = x n + 1 n + 1 '

Passo 2

Nossa derivada é:

f ' x = x 6 + 5 x

Para facilitar vou transformar a raiz em potência e realizar a multiplicação distributiva:

f ' x = x 1 2 6 + 5 x

f ' x = 6 x 1 2 + 5 x 3 2

A antiderivada do primeiro termo é:

6 x 1 / 2 = 6 x 3 2 3 / 2 '

6 x 1 / 2 = 2 ⋅ 6 x 3 2 3 '

6 x 1 / 2 = 4 x 3 2 '

E a antiderivada do segundo termo é:

5 x 3 / 2 = 5 x 5 2 5 / 2 '

12 x = 5 ⋅ 2 x 5 2 5 '

12 x = 2 x 5 2

Agora é só juntar tudo e somar uma constante C para encontrar a antiderivada geral, que é a nossa função f x original:

f x = 4 x 3 / 2 + 2 x 5 / 2 + C

Para encontrar C faremos:

f 1 = 10

Logo,

4 + 2 + C = 10

C = 4

Portanto, temos que:

f x = 4 x 3 / 2 + 2 x 5 / 2 + 4

Passo 3

Derivando f ( x ) , temos

f ' x = 6 x + 5 x 3 2

Dessa forma, provamos que f x = 4 x 3 / 2 + 2 x 5 / 2 + 4 é a função original que resultou na derivada dada.

Resposta

f x = 4 x 3 2 + 2 x 5 2 + 4

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