Resolva o problema de valor inicial dy/dx = 1/raiz(1 - x^2); y(0) = 0

Passo 1

Vamos pensar um pouco...

Que tal expressar a solução em termos de integrais? Já vimos como faríamos isso em exercícios anteriores, agora seria só fazer a mesma coisa. Uma boa ideia seria usar uma função que satisfizesse 2 coisas:

  1. Quando aplicássemos o teorema fundamental do calculo, nos fornecesse exatamente a cara do (d y)/(d x)
  2. y ( 0 ) = 0 .

Vamos primeiro tentar satisfazer a primeira coisa .

Uma boa pedida seria y = int_(0 )^(x ) (1)/(sqrt(1 - t^2)) d t . Concorda?

Quando derivamos, (d y)/(d x) = (1)/(x^2 + 1) .

Vamos testar a condição 2)?

y ( 0 ) = int_(0 )^(0 ) (1)/(sqrt(1 - t^2)) d t = 0 != 1

Precisamos que nos forneça 1, não é? Então vamos somar ele em nossa solução. Ou seja, y = int_(0 )^(x ) (1)/(sqrt(1 - t^2)) d t + 1

E agora,

y ( 0 ) = int_(0 )^(0 ) (1)/(sqrt(1 - t^2)) d t + 1 = 1

Então fechou!

Resposta

y = int_(0 )^(x ) (1)/(sqrt(1 - t^2)) d t

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