Resolva o problema de valor inicial dy/dx = 1/(x^2 + 1) ; y(0) = 1

Passo 1

Vamos pensar um pouco...

Que tal expressar a solução em termos de integrais? Já vimos como faríamos isso em exercícios anteriores, agora seria só fazer a mesma coisa. Uma boa ideia seria usar uma função que satisfizesse 2 coisas:

  1. Quando aplicássemos o teorema fundamental do calculo, nos fornecesse exatamente a cara do d y d x
  2. y ( 0 ) = 1   .

Vamos primeiro tentar satisfazer a primeira coisa .

Uma boa pedida seria y =   ∫ 0     x   1 t 2 + 1   d t     . Concorda?

Quando derivamos, d y d x =     1 x 2 + 1 .

Vamos testar a condição 2)?

y ( 0 ) =   ∫ 0     0   1 t 2 + 1   d t = 0 ≠ 1  

Precisamos que nos forneça 1, não é? Então vamos somar ele em nossa solução. Ou seja, y =   ∫ 0     x   1 t 2 + 1   d t     + 1

E agora,

y ( 0 ) =   ∫ 0     0   1 t 2 + 1   d t + 1 =   1  

Então fechou!

Resposta

    =   ∫ 0     x   1 t 2 + 1   d t     + 1

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