Encontre f .

f''(x) = 2 - 12x, f(0) = 9, f(2) = 15

Passo 1

Bom pessoal, nessa questão temos a segunda derivada de uma função:

f ' ' x = 2 - 12 x  

E sabemos que:

f 0 = 9

f 2 = 15

E queremos encontrar a função f x .

Para achar f vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função F é chamada de antiderivada de f :

F ' x = f x

E se F é uma antiderivada de f nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f :

F x + C

onde C é uma constante qualquer, afinal, quando derivamos a constante obtemos zero, logo somar uma constante a F x não muda em nada sua derivada.

Vamos usar as condição dadas de que f 0 = 9 e f 2 = 15 para encontrar o valor de C .

Aqui vai nos ajudar saber a regra do polinômio:

x n = x n + 1 n + 1 '

E da constante:

K = K x '

Como temos a segunda derivada, vamos precisar fazer esse processo duas vezes para encontrar a função f x original.

Passo 2

Nossa segunda derivada é:

f ' ' x = 2 - 12 x  

A antiderivada do primeiro termo é:

2 = 2 x '

E do segundo termo é:

- 12 x = - 12 x 2 2 '

- 12 x = - 6 x 2 '

Dessa forma, somando tudo com uma constante C , temos para a antiderivada geral que é a nossa primeira derivada que:

f ' x = 2 x - 6 x 2 + C

Passo 3

Agora vamos repetir o processo para encontrar a função original.

Nossa derivada é:

f ' x = 2 x - 6 x 2 + C

A antiderivada do primeiro termo é:

2 x = 2 x 2 2 '

2 x = x 2 '

A antiderivada do segundo termo é:

- 6 x 2 = - 6 x 3 3 '

- 6 x 2 = - 2 x 3 '

E a antiderivada do último termo é:

C = C x '

Dessa forma, juntando tudo e somando a uma nova constante D temos para a antiderivada geral que é a função original que:

f x = x 2 - 2 x 3 + C x + D

Passo 4

Aplicando agora as condições do problema, podemos encontrar o valor das constantes C e D .

Aplicando f 0 = 9 , temos

f x = x 2 - 2 x 3 + C x + D

f 0 = 0 2 - 2 0 3 + C 0 + D

D = 9

Aplicando f 2 = 15 , temos

f x = x 2 - 2 x 3 + C x + D

f 2 = 2 2 - 2 2 3 + 2 C + 9

C = 9

Resposta

f x = x 2 - 2 x 3 + 9 x + 9

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