Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.9 - Ex. 41
Encontre .
Passo 1
Bom pessoal, nessa questão temos a segunda derivada de uma função:
E sabemos que:
E queremos encontrar a função .
Para achar vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função é chamada de antiderivada de :
E se é uma antiderivada de nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de :
onde é uma constante qualquer, afinal, quando derivamos a constante obtemos zero, logo somar uma constante a não muda em nada sua derivada.
Vamos usar as condição dadas de que e para encontrar o valor de .
Aqui vai nos ajudar saber a regra do polinômio:
E da constante:
Como temos a segunda derivada, vamos precisar fazer esse processo duas vezes para encontrar a função original.
Passo 2
Nossa segunda derivada é:
A antiderivada do primeiro termo é:
E do segundo termo é:
Dessa forma, somando tudo com uma constante , temos para a antiderivada geral que é a nossa primeira derivada que:
Passo 3
Agora vamos repetir o processo para encontrar a função original.
Nossa derivada é:
A antiderivada do primeiro termo é:
A antiderivada do segundo termo é:
E a antiderivada do último termo é:
Dessa forma, juntando tudo e somando a uma nova constante temos para a antiderivada geral que é a função original que:
Passo 4
Aplicando agora as condições do problema, podemos encontrar o valor das constantes e .
Aplicando , temos
Aplicando , temos