Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.3 - Ex. 40
(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.
Passo 1
Faaala aí, bora matar mais uma?
Nessa questão, temos a seguinte função:
E queremos encontrar os intervalos em que ela é crescente ou decrescente. Para isso vamos derivar a função e fazer um estudo de sinais da derivada, pois quando a derivada é positiva a função é crescente
E quando a derivada é negativa, a função é decrescente.
Depois disso vamos encontrar os pontos de máximo e mínimo.
Para isso, vamos encontrar os pontos onde a derivada vale zero.
Esses são pontos críticos da nossa função.
Para verificar se eles são pontos de máximo ou mínimo vamos olhar para o comportamento da derivada ao redor deles.
Se a derivada é positiva antes do ponto crítico e negativa depois do ponto crítico, então esse é um ponto de máximo.
Se a derivada é negativa antes do ponto crítico e positiva depois dele, então esse é um ponto de mínimo.
E por fim vamos olhar para os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.Para isso, vamos encontrar a segunda derivada da nossa função e fazer um estudo de sinais dela.
Quando a segunda derivada é positiva, a concavidade é para cima.
Quando a segunda derivada é negativa, a concavidade é para baixo.
E quando a segunda derivada é zero, temos um ponto de inflexão.
E por fim, vamos usar esses resultados e tentar traçar um gráfico da nossa função.
Passo 2
Item a:
Uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa. Portanto, para avaliar os intervalos onde é crescente ou decrescente, vamos obter a derivada e analisar o seu sinal:
Usando a derivada da potência de (famosa regra do tombo), temos o seguinte:
Aqui, temos a divisão entre duas funções.
Vamos avaliar quando essas funções são positiva ou negativas.
A de cima, temos:
Portanto, a função de cima é positiva para e negativa para .
Já a de baixo, temos:
Portanto, a função de baixo é positiva para e negativa para .
Estudando o sinal de temos a tabela:
é decrescente para valores de nos intervalos e e crescente no intervalo .
Passo 3
Item b:
Os pontos onde a derivada é zero, pontos críticos são:
Como cresce até e decresce a partir dele, é ponto de máximo local.
Passo 4
Item c:
A concavidade de uma função é indicada pelo sinal da derivada segunda. Quando a derivada segunda é positiva, a função possui concavidade voltada para cima e quando a derivada segunda é negativa, a função possui concavidade voltada para baixo. Então devemos obter a derivada segunda e estudar o seu sinal:
Estudando o sinal de temos que é sempre positivo para valores antes de zero e negativo para valores depois de zero. Então possui concavidade voltada para cima no intervalo e concavidade para baixo no intervalo .
Passo 5
Item d:
Com as informações obtidas, sabemos que nossa função decresce com concavidade para baixo até . Depois ela cresce com concavidade para baixo até , chega num ponto de máximo local e então decresce com concavidade para baixo dali em diante.
Plotando o gráfico usando um software, temos o seguinte:
Resposta
(a) é decrescente para valores de nos intervalos e e crescente no intervalo .
(b) é ponto de máximo local.
(c) possui concavidade voltada para cima no intervalo e concavidade para baixo no intervalo .
(d)
