Encontre y' se

y^x = x^y

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar encontrar a derivada y ' , sabendo que y x = x y .

Pra isso, como a gente tem duas exponenciais bem estranhas, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados da equação, de modo que a gente fique com:

ln ⁡ y x = l n ⁡ ( x y )

x ln ⁡ y = y   l n ⁡ ( x )

A partir daí, vamos aplicar a derivação implicítica, dos dois lados da igualdade, e isolar y ' para obter a nossa resposta.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar aplicando a derivada dos dois lados da equação:

d d x x ln ⁡ y = d d x ( y ln ⁡ x )

Dessa forma, utilizando a regra da cadeia junto com a regra do produto, vamos ter:

x ⋅ ln ⁡ y ' ⋅ y ' + x ' ∙ ln ⁡ y = ( y ) ' ⋅ ln ⁡ x + y ⋅ ln ⁡ x '

E derivando em relação a x :

x ⋅ 1 y ⋅ y ' + ln ⁡ y = y ' ⋅ ln ⁡ x + y ⋅ 1 x

Calculando os produtos:

x y y ' + ln ⁡ y = y ' ln ⁡ x + y x

Agora, colocaremos do mesmo lado da equação tudo que tiver y ' :

ln ⁡ y - y x = y ' ln ⁡ x - y ' x y

Colocando y ' em evidência, ficamos com:

y ' ⋅ ln ⁡ x - x y = ln ⁡ y - y x

E isolando y ' :

y ' = ln ⁡ y - y x ln ⁡ x - x y

Passo 3

Agora, a fim de eliminar a fração na fração multiplicaremos em cima e em baixo po x y :

y ' = ln ⁡ y - y x ln ⁡ x - x y ⋅ x y x y

Logo,

y ' = x y ln ⁡ y - y 2 x y ln ⁡ x - x 2

E encontramos a nossa derivada.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y ' = x y ⋅ ln ⁡ y - y 2 x y ⋅ ln ⁡ x - x 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados