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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.6 - Ex. 52

Encontre y ' se

y^x = x^y

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar encontrar a derivada y^' , sabendo que y^x = x^y .

Pra isso, como a gente tem duas exponenciais bem estranhas, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados da equação, de modo que a gente fique com:

ln (y^x) = l n ( x^y )

x ln (y) = y l n ( x )

A partir daí, vamos aplicar a derivação implicítica, dos dois lados da igualdade, e isolar y^' para obter a nossa resposta.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar aplicando a derivada dos dois lados da equação:

(d)/(d x) (x ln (y)) = (d)/(d x) ( y ln (x) )

Dessa forma, utilizando a regra da cadeia junto com a regra do produto, vamos ter:

x * (ln y)^' * (y)^' + (x)^' * ln (y) = ( y )^' * ln (x) + y * (ln x)^'

E derivando em relação a x :

x * (1)/(y) * y^' + ln (y) = y^' * ln (x) + y * (1)/(x)

Calculando os produtos:

(x)/(y) y^' + ln (y) = y^' ln (x) + (y)/(x)

Agora, colocaremos do mesmo lado da equação tudo que tiver y ' :

ln (y) - (y)/(x) = y^' ln (x) - y^' (x)/(y)

Colocando y ' em evidência, ficamos com:

y^' * (ln (x) - (x)/(y)) = ln (y) - (y)/(x)

E isolando y ' :

y^' = (ln (y) - (y)/(x))/(ln (x) - (x)/(y))

Passo 3

Agora, a fim de eliminar a fração na fração multiplicaremos em cima e em baixo po x y :

y^' = (ln (y) - (y)/(x))/(ln (x) - (x)/(y)) * ((x y)/(x y))

Logo,

y^' = (x y ln (y) - y^2)/(x y ln (x) - x^2)

E encontramos a nossa derivada.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y^' = (x y * ln (y) - y^2)/(x y * ln (x) - x^2)

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