Enunciado

Se z 2 = x 2 + y 2 , d x d t = 2 e d y d t = 3 , encontre d z d t quando x = 5 e y = 12 .

Passo 1

Oieee galerinhaaa, bora resolver mais uma comigo?

Vamos resolvê-lo passo a passo:

Dado:

  z 2 =   x 2 +   y 2

d x d t = 2

d y d t = 3

Queremos encontrar d z d t quando x   =   5   e y   =   12 .

Passo 2

Aqui, estamos trabalhando com a relação entre as variáveis (   x   ) ,   (   y   )   e   (   z   ) , onde (   z   ) é uma função de (   x   )   e   (   y   ) .  

Para encontrar d z d t precisamos diferenciar implicitamente a equação (   z 2 =   x 2 +   y 2 ) com relação ao tempo (   t   ) :

d d t z 2 = d d t x 2 + y 2

Usando a regra da cadeia, temos:

2 z d z d t = 2 x d x d t + 2 y d y d t

Agora, podemos substituir os valores fornecidos para x ,   y , d x d t   e d y d t

2 z d z d t = 2 5 2 + 2 ( 12 ) ( 3 )

2 z d z d t = 20 + 72

2 z d z d t = 92

Passo 3

Agora, substituímos (   x   =   5   )   e   (   y   =   12   ) na equação original para encontrar (   z   ) :

  z 2 =   5 2 +   12 2

z 2 =   25   +   144  

z 2 =   169  

  z   = 169

z   =   13

Agora, substituímos z = 13 na equação que obtivemos:

  2 13 d z d t   =   92  

26 d z d t   =   92  

d z d t   = 92 26

Passo 4

Podemos simplificar:

d z d t   = 92 2 26 2

d z d t = 46 13

d z d t ≈ 3,583

Portanto, quando (   x   =   5   )   e   (   y   =   12   ) , d z / d t é aproximadamente 3,583 .

Resposta

d z d t ≈ 3,583

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