Uma partícula move-se ao longo da curva y = 1 + x 3 . Quando ela atinge o pondo 2,3 , a coordenada y está crescendo a uma taxa de 4 cm/s. Quão rápido está variando a coordenada x do pondo naquele instante?

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que uma partícula move-se ao longo da curva:

y = 1 + x 3

Quando ela atinge o pondo 2,3 , a coordenada y está crescendo a uma taxa de 4 cm/s.

Queremos calcular o quão rápido está variando a coordenada x do pondo naquele instante.

Para isso, primeiramente precisamos derivar a função para obter relação entre as taxa de variação de x e y .

Depois vamos substituir o que tivermos pelos dados do enunciado.

Quer ver?? Então bora junto!! 😉

Passo 2

Para facilitar o processo, podemos manipular a equação e deriva-la implicitamente:

y = 1 + x 3 ∴

y 2 = 1 + x 3

Logo, derivando a mesma, temos:

2 y × y ' = 3 x 2 × x ' ∴

x ' = 2 y × y ' 3 x 2

Passo 3

Quando estamos no ponto x , y = ( 2,3 ) , y está crescendo a uma taxa de 4 cm/s, ou seja, y ' = 4 . Então é só substituir:

x ' = 2 ( 3 ) × ( 4 ) 3 ( 2 ) 2 = 2

Logo, a coordenada x cresce a uma taxa de 2 cm/s.

Resposta

x cresce a uma taxa de 2 cm/s

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