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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 6

Esboce a área representada por g ( x ) . A seguir, encontre g ' ( x ) de duas maneiras: (a) utilizando a parte 1 do Teorema Fundamental e (b) calculando a integral usando a Parte 2 e então derivando.

g x = ∫ 0 x ( 1 + t )   d t

Passo 1

E aí, galera! Tudo certinho por aí 😎?

Nessa questão temos uma função

g x = ∫ 0 x ( 1 + t )   d t

dada como sendo uma integral definida de uma outra função, e precisamos fazer o seguinte:

  • Esboçar a área que a função g x representa. Lembre-se que o conceito de integral está relacionado ao conceito de área, ok?
  • Calcular a derivada g ' da função g de duas maneiras distintas: usando a Parte 1 e a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo.

🤔 Mas o que são essas Parte 1 e Parte 2?

Bem, saca só:

  • Parte 1 - Sempre que uma função g é obtida integrando uma função f , então a derivada da função g é a função f ! Precisamente, se

g x =   ∫ a x f t d t ,

então g ' x = f x .

  • Parte 2 - Se F é uma primitiva de f , ou seja, se F ' = f , então

    • ∫ a b f t d t = F t ​ a b =   F b - F a .

    Além disso, vale a pena relembrar o seguinte:

  • Regra da Potência para derivadas:

x n ' = n x n - 1 .

Com isso, para qualquer n ≠ 1 ,   uma primitiva da função x n é a função

F x = x n + 1 n + 1 ,

Pois

x n + 1 n + 1 ' = x n .

Agora, bora lá resolver essa questão 😊!

Passo 2

Vamos começar esboçando a área que a função

g x = ∫ 0 x ( 1 + t )   d t

representa. Pensa o seguinte, quando variamos o valor de x , variamos o limite superior da integral

∫ 0 x ( 1 + t )   d t ,

né? Então, a função g representa a área da região entre o gráfico da função f x = 1 + t e o eixo x , no intervalo 0 ,   x .

Para exemplificar, consideramos x = 6 . Dessa forma, a área representada por

g 6 = ∫ 0 6 ( 1 + t )   d t

é a área da região pintada em rosa na imagem abaixo.

Passo 3

Item (a): Vamos usar a parte 1 do Teorema Fundamental para calcular g ' diretamente, sem encontrar uma expressão fechada para g ( x ) .

Temos que

g x =   ∫ a x f t d t ,

onde

f t = 1 + t .  

Dessa forma, como pela Parte 1 temos que

g ' x = f x ,

então

g ' x = 1 + x .  

Passo 4

Item (b): Agora, vamos achar g ' encontrando primeiro g ( x ) e depois derivando. Para isso, vamos aplicar a Parte 2 do Teorema Fundamental.

Temos que:

g x = ∫ 0 x ( 1 + t )   d t =   F x - F 0 ,

onde F é uma primitiva de

f t = 1 + t = 1 + t 1 2 .

Com isso, precisamos encontrar uma primitiva F de f . Bem, pela Regra da Potência, temos que

F t = t + t 1 2 + 1 1 2 + 1 = t + 2 3 t 3 2

é uma primitiva da função f .

Dessa forma, temos que a função g pode ser dada da seguinte forma:

g x = F x - F 0 =   t + 2 3 t 3 2 0 x ,

ou seja,

g x = x + 2 3 x 3 2 .

Pronto, agora que temos uma expressão para a função g , vamos derivá-la!

Como

g ' x = x + 2 3 x 3 2 ' ,

então usando a Regra da Potência em cada um dos termos:

g ' x = 1 + 2 3 ⋅ 3 2 x 1 2 = 1 + x .

Observe que encontramos a mesma função que no Passo anterior 🎉!

Resposta

A área representada por

g x = ∫ 0 x ( 1 + t )   d t ,

para x = 6 , por exemplo, é a área da região pintada em rosa na imagem abaixo.

A derivada g ' é dada por:

g ' x = 1 + x .

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Calcule F'(x) sendo F dada por b) F (x) = int_2^x s e n t^2 d t
Calcule F' (x) sendo F dada por g) F (x) = x^3 int_1^x e^(- s^2) d s
Calcule F' (x) sendo F dada por e) F (x) = int_0^(2 x) c o s t^2 d t
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