Trace um gráfico de f e então o use para fazer um esboço da antiderivada que passe pela origem.

f(x) = sen(x^2) 0 ≤ x ≤ 4

Passo 1

Fala aí, belezinha?

Bom, nessa questão estamos interessados em traçar um gráfico para a primitiva da função

f x = sen ⁡ ( x 2 )             0 ≤ x ≤ 4

Para isso, iremos utilizar os conceitos de derivada de decrescimento, crescimento, valores de máximo, valores de mínimo e pontos de inflexão para esboçar uma primitiva de y = f ( x ) .

E teremos que lembrar que quando:

Olhando para o gráfico dado, podemos analisar o que está acontecendo com a primitiva da nossa função com base, nas informações sobre sua derivada.

Vem que te mostro como.

E aí? Bora lá?? 😉

Passo 2

Usando uma calculadora, podemos mostrar o gráfico de sen ⁡ x 2 no intervalo dado:

Se F x é a antiderivada de f ( x ) , então

F ' x = f x

e estamos olhando para o gráfico da inclinação de F ( x ) . Com isso, conseguimos estimar como se comporta a função F ( x ) .

Passo 3

Sabemos que:

E vemos que o gráfico começa em F 0 = 0 com inclinação zero.

Depois a inclinação aumenta até 1 em x ≈ 1,25 e volta a diminuir até zero em x ≈ 1,8 .

Como a inclinação é zero, temos aí um ponto máximo.

Depois a inclinação é negativa e a curva é decrescente até o ponto mínimo em x ≈ 2,5 .

Volta a crescer, tem um máximo em x ≈ 3,1 , depois desce e tem um mínimo em x ≈ 3,6 e finalmente volta a crescer e tem outro máximo em x ≈ 4 .

Um gráfico estimado da função é mostrado:

E prontinho.

Resposta

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