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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.9 - Ex. 30

Encontre f

f^(' ') (t) = e^t + t^(- 4)

Passo 1

O enunciado pediu pra gente encontrar a função f , sabendo que a sua terceira derivada é f^(' ' ') (t) = e^t + t^(- 4) . Isso significa que precisamos encontrar a primitiva dessa função.

Como a gente vai fazer a operação inversa da derivação, não podemos esquecer que quando temos uma potência, do tipo f (x) = x^n , para n != - 1 , sua primitiva é dada por:

F (x) = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

E que para funções exponenciais, do tipo f (x) = e^x , temos:

F (x) = e^x + C

Então, vamos tentar separar os termos da nossa função e aplicar as regrinhas da primitivação.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar achando a primitiva de f ' ' ' ( t ) , isto é, f ' ' ( t ) , usando as regrinhas que vimos no passo 1 :

f^(' ') (t) = e^t + (t^(- 4 + 1))/(- 4 + 1) + C_1

Assim,

f^(' ') (t) = e^t - (t^(- 3))/(3) + C_1

Passo 3

Agora vamos achar primitiva de f ' ' ( t ) , isto é, f ' ( t ) , aplicando as mesmas regras:

f^' (t) = e^t - (1)/(3) * (t^(- 3 + 1))/(- 3 + 1) + C_2

Arrumando as coisas:

f^' (t) = e^t + (t^(- 2))/(6) + C_2

Passo 4

Por fim, vamos achar a primitiva de f ' ( t ) , para obter a nossa função f ( t ) :

f (t) = e^t + (1)/(6) * (t^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) + C_3

Portanto,

f (t) = e^t - (t^(- 1))/(6) + C_3

f (t) = e^t - (1)/(6 t) + C_3

E encontramos nossa função.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f (t) = e^t - (1)/(6 t) + C_3

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Use um campo de direção para fazer o gráfico da antiderivada que satisfaça F 0 = 0 . f x = x x, - π 2xπ 2
54 . Um campo de direção é dado por uma função. Use-o para traçar a antiderivada F que satisfaça F ( 0 ) = - 2 .