Encontre y’ e y’’: y = ln ⁡ x 1 + ln ⁡ x

y ' = 1 x 1 + ln ⁡ x 2 y ' ' = - 3 + ln ⁡ x x 2 1 + ln ⁡ x 3

Enunciado

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo.

Nessa questão queremos encontrar a primeira e a segunda derivada da função:

Comoessa função trata de uma divisão de funções, vamos usar a regra do quociente que diz que:

Além disso, vamos lembrar que a derivada do logaritmo natural é:

E a derivada da constante é:

Este problema é bem direto, só temos que de derivar a função 1 e 2 vezes. Vamos usar a regra do quociente:

Derivando, temos:

Colocando em evidência:

Temos que derivar a função novamente.

Encontramos que a primeira derivada é:

E agora temos que derivar essa expressão.

Aqui você pode seguir por alguns caminhos... todos eles devem chegar no mesmo resultado.

Eu vou fazer o seguinte, aplicar a regra do quociente:

Sendo que a derivada de é zero, portanto:

E agora me resta encontrar a seguinte derivada:

Nessa derivada vamos usar a regra do produto:

Que no nosso caso fica:

E para encontrar a derivada de:

Vou usar a regra da cadeia:

Ou seja,

Derivando, teremos:

Substituindo na regra do produto, ficamos com:

Simplificando:

Colocando em evidência, temos:

E por fim, substituindo na expressão da segunda derivada temos:

Podemos ainda simplificar isso aí, para isso, faço a potência do termo do denominador:

Simplifico

E pronto!