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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 12a

Calcule f^' (x) .

f (x) = x^2 e^x

Passo 1

Aqui vamos usar a regra do produto:

(h (x) g (x))^' = h ' (x) g (x) + g ' (x) h (x)

Temos que:

h (x) = x^2

e

g (x) = e^x

Assim:

f^' (x) = h^' (x) g (x) + g^' (x) h (x) = (x^2)^' * e^x + (e^x)^' * x^2

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio e da função exponencial:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a regra do polinômio:

h ' ( x ) = (x^2)^' = 2 x^(2 - 1) = 2 x

Com g ' ( x ) vamos usar a regra da função exponencial:

g ' ( x ) = (e^x)^' = e^x * (x)^' = e^x * x^(1 - 1) = e^x * x^0 = e^x * 1 = e^x

Passo 4

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f^' (x) = h^' (x) g (x) + g^' (x) h (x) = (x^2)^' * e^x + (e^x)^' * x^2 = 2 x * e^x + e^x * x^2 = 2 x e^x + x^2 e^x

Resposta

f^' (x) = 2 x e^x + x^2 e^x

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