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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.9 - Ex. 8b

Calcule a derivada segunda.

x = t sen t

Passo 1

Vamos analisar a função, aqui vamos usar a regra do produto:

(h (t) g (t))^' = h ' (t) g (t) + g ' (t) h (t)

Temos que:

h (t) = t

e

g (t) = sen t

Assim:

x^' = (d x)/(d t) = (d)/(d t) (t sen t) = h ' (t) g (t) + g ' (t) h (t) = (t)^' * sen t + (sen t)^' * t

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio e da função trigonométrica:

(t^n)^' = n t^(n - 1)

(sen (t))^' = cos (t)

(cos (t))^' = - sen (t)

Vamos calcular h ' ( t ) , usando a regra do polinômio:

h ' ( t ) = (t)^' = t^(1 - 1) = t^0 = 1

Com g ' ( t ) vamos usar a regra e da função trigonométrica:

g ' ( t ) = (sen t)^' = cos t

Passo 3

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

x^' = h ' (t) g (t) + g ' (t) h (t) = (t)^' * sen t + (sen t)^' * t = 1 * sen t + cos t * t = sen t + t cos t

Passo 4

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regra, derivando agora x^' :

x^(' ') = (x^')^' = (d^2 x)/(d t^2) = (d)/(d t) ((d x)/(d t)) = (d)/(d t) (sen t + t cos t)^' = cos t + (1 * cos t + t (- sen t)) = cos t + cos t - t sen t = 2 cos t - t sen t

Resposta

x^(' ') = (d^2 x)/(d t^2) = 2 cos t - t sen t

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