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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.5 - Ex. 28

28- a) Mostre que y = c o s   x e y = s e n   x são soluções da equação y ' ' + y = 0 .

b) Mostre que y =   A   s e n   x + B   c o s   x é uma solução da equação y ' ' + y = 0   para qualquer valor das constantes A   e B .

Passo 1

Gente, nessa questão nós só temos que derivar a função. Então vamos lá!

Passo 2

a)Para y = cos ⁡ x   :

y ´ = - s e n   x

y ´ ´ = - cos ⁡ x  

Dessa forma,

y ' ' + y =   - cos ⁡ x + cos ⁡ x  

y ' ' + y = 0

Para y = s e n   x   :

y ' = cos ⁡ x

y ' ' =   - s e n   x  

Dessa forma,

y ' ' + y =   - s e n   x + s e n   x  

y ' ' + y = 0

Passo 3

b)

y ´ = A   cos ⁡ x - B   s e n   x  

y ' ' = - A   s e n   x - B cos ⁡ x  

Dessa forma,

y ' ' + y = - A   s e n   x - B cos ⁡ x   + A   s e n   x + B cos ⁡ x  

y ' ' + y = 0

Resposta

a)Demonstração acima.

b)Demonstração acima.

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Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.Se f x = 0 tiver uma raiz, então o Método de Newton começando em x = x 1 aproximará a raiz mais próxima de x 1 .
Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.O Método de Newton pode ser usado para aproximar um ponto de interseção de duas curvas.
Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.O Método de Newton usa a reta tangente a y = f ( x ) em x = x n para calcular x n + 1 .
Encontre (d y)/(d x) :y = a r c sen ((1)/(x))
Encontre (d y)/(d x) :y = (t g (x))^(- 1)